Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13505 / 4007
↖ ↑ ↗
← N 79.353502°
W 31.629639°		 ← 225.70 m → N 79.353502°
W 31.618652°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
N 79.351472°
W 31.629639°		 ← 225.74 m →
50 950 m²		 N 79.351472°
W 31.618652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412155151367188 y=0.122299194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412155151367188 × 215)
    floor (0.412155151367188 × 32768)
    floor (13505.5)     		tx = 13505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122299194335938 × 215)
    floor (0.122299194335938 × 32768)
    floor (4007.5)     		ty = 4007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13505 / 4007 ti = "15/13505/4007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13505/4007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13505 ÷ 215
    13505 ÷ 32768     		x = 0.412139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4007 ÷ 215
    4007 ÷ 32768     		y = 0.122283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.17572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55204134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122283935546875 × 2 - 1) × π
    0.75543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37326002638974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55204134} λ = -0.55204134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37326002638974))-π/2
    2×atan(10.7323229718042)-π/2
    2×1.47788810618078-π/2
    2.95577621236157-1.57079632675     		φ = 1.38497989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55204134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.629639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38497989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.353502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13505 KachelY 4007 -0.55204134 1.38497989 -31.629639 79.353502
    Oben rechts KachelX + 1 13506 KachelY 4007 -0.55184959 1.38497989 -31.618652 79.353502
    Unten links KachelX 13505 KachelY + 1 4008 -0.55204134 1.38494446 -31.629639 79.351472
    Unten rechts KachelX + 1 13506 KachelY + 1 4008 -0.55184959 1.38494446 -31.618652 79.351472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38497989-1.38494446) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38497989-1.38494446) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55204134--0.55184959) × cos(1.38497989) × R
    0.000191750000000046 × 0.18474897745441 × 6371000     		do = 225.696602255727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55204134--0.55184959) × cos(1.38494446) × R
    0.000191750000000046 × 0.184783797437298 × 6371000     		du = 225.739139713507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38497989)-sin(1.38494446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18474897745441-0.184783797437298)×R²
    abs(-0.55184959--0.55204134)×3.48199828872631e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48199828872631e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48199828872631e-05×40589641000000     		ar = 50950.060346166m²