Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13505 / 3285
↖ ↑ ↗
← N 80.723498°
W 31.629639°		 ← 196.93 m → N 80.723498°
W 31.618652°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 80.721727°
W 31.629639°		 ← 196.96 m →
38 784 m²		 N 80.721727°
W 31.618652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412155151367188 y=0.100265502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412155151367188 × 215)
    floor (0.412155151367188 × 32768)
    floor (13505.5)     		tx = 13505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100265502929688 × 215)
    floor (0.100265502929688 × 32768)
    floor (3285.5)     		ty = 3285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13505 / 3285 ti = "15/13505/3285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13505/3285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13505 ÷ 215
    13505 ÷ 32768     		x = 0.412139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3285 ÷ 215
    3285 ÷ 32768     		y = 0.100250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.17572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55204134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100250244140625 × 2 - 1) × π
    0.79949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51170179249246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55204134} λ = -0.55204134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51170179249246))-π/2
    2×atan(12.3258883263593)-π/2
    2×1.48984357359742-π/2
    2.97968714719485-1.57079632675     		φ = 1.40889082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55204134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.629639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40889082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.723498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13505 KachelY 3285 -0.55204134 1.40889082 -31.629639 80.723498
    Oben rechts KachelX + 1 13506 KachelY 3285 -0.55184959 1.40889082 -31.618652 80.723498
    Unten links KachelX 13505 KachelY + 1 3286 -0.55204134 1.40885991 -31.629639 80.721727
    Unten rechts KachelX + 1 13506 KachelY + 1 3286 -0.55184959 1.40885991 -31.618652 80.721727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40889082-1.40885991) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40889082-1.40885991) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55204134--0.55184959) × cos(1.40889082) × R
    0.000191750000000046 × 0.161199084533796 × 6371000     		do = 196.9271287306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55204134--0.55184959) × cos(1.40885991) × R
    0.000191750000000046 × 0.161229590213002 × 6371000     		du = 196.964395665666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40889082)-sin(1.40885991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161199084533796-0.161229590213002)×R²
    abs(-0.55184959--0.55204134)×3.05056792059277e-05×R²
    0.000191750000000046×3.05056792059277e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.05056792059277e-05×40589641000000     		ar = 38784.0582524256m²