Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13503 / 4010
↖ ↑ ↗
← N 79.347411°
W 31.651611°		 ← 225.82 m → N 79.347411°
W 31.640625°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 79.345380°
W 31.651611°		 ← 225.87 m →
51 008 m²		 N 79.345380°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412094116210938 y=0.122390747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412094116210938 × 215)
    floor (0.412094116210938 × 32768)
    floor (13503.5)     		tx = 13503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122390747070312 × 215)
    floor (0.122390747070312 × 32768)
    floor (4010.5)     		ty = 4010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13503 / 4010 ti = "15/13503/4010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13503/4010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13503 ÷ 215
    13503 ÷ 32768     		x = 0.412078857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4010 ÷ 215
    4010 ÷ 32768     		y = 0.12237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.17584228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55242483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12237548828125 × 2 - 1) × π
    0.7552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3726847835943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55242483} λ = -0.55242483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3726847835943))-π/2
    2×atan(10.7261510556817)-π/2
    2×1.47783495339722-π/2
    2.95566990679443-1.57079632675     		φ = 1.38487358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55242483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.651611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38487358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.347411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13503 KachelY 4010 -0.55242483 1.38487358 -31.651611 79.347411
    Oben rechts KachelX + 1 13504 KachelY 4010 -0.55223308 1.38487358 -31.640625 79.347411
    Unten links KachelX 13503 KachelY + 1 4011 -0.55242483 1.38483813 -31.651611 79.345380
    Unten rechts KachelX + 1 13504 KachelY + 1 4011 -0.55223308 1.38483813 -31.640625 79.345380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38487358-1.38483813) × R
    3.5450000000159e-05 × 6371000     		dl = 225.851950001013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38487358-1.38483813) × R
    3.5450000000159e-05 × 6371000     		dr = 225.851950001013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55242483--0.55223308) × cos(1.38487358) × R
    0.000191749999999935 × 0.184853456362481 × 6371000     		do = 225.824237790493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55242483--0.55223308) × cos(1.38483813) × R
    0.000191749999999935 × 0.184888295304429 × 6371000     		du = 225.866798409404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38487358)-sin(1.38483813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184853456362481-0.184888295304429)×R²
    abs(-0.55223308--0.55242483)×3.48389419471962e-05×R²
    0.000191749999999935×3.48389419471962e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.48389419471962e-05×40589641000000     		ar = 51007.6506669668m²