Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13502 / 3393
↖ ↑ ↗
← N 80.530264°
W 31.662598°		 ← 200.99 m → N 80.530264°
W 31.651611°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 80.528456°
W 31.662598°		 ← 201.03 m →
40 404 m²		 N 80.528456°
W 31.651611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412063598632812 y=0.103561401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412063598632812 × 215)
    floor (0.412063598632812 × 32768)
    floor (13502.5)     		tx = 13502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103561401367188 × 215)
    floor (0.103561401367188 × 32768)
    floor (3393.5)     		ty = 3393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13502 / 3393 ti = "15/13502/3393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13502/3393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13502 ÷ 215
    13502 ÷ 32768     		x = 0.41204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3393 ÷ 215
    3393 ÷ 32768     		y = 0.103546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.1759033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55261658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103546142578125 × 2 - 1) × π
    0.79290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4909930518566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55261658} λ = -0.55261658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4909930518566))-π/2
    2×atan(12.0732595421839)-π/2
    2×1.48815728835802-π/2
    2.97631457671604-1.57079632675     		φ = 1.40551825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55261658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.662598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40551825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.530264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13502 KachelY 3393 -0.55261658 1.40551825 -31.662598 80.530264
    Oben rechts KachelX + 1 13503 KachelY 3393 -0.55242483 1.40551825 -31.651611 80.530264
    Unten links KachelX 13502 KachelY + 1 3394 -0.55261658 1.40548670 -31.662598 80.528456
    Unten rechts KachelX + 1 13503 KachelY + 1 3394 -0.55242483 1.40548670 -31.651611 80.528456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40551825-1.40548670) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dl = 201.005050000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40551825-1.40548670) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dr = 201.005050000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55261658--0.55242483) × cos(1.40551825) × R
    0.000191750000000046 × 0.164526624691082 × 6371000     		do = 200.992182392693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55261658--0.55242483) × cos(1.40548670) × R
    0.000191750000000046 × 0.164557744666061 × 6371000     		du = 201.030199775587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40551825)-sin(1.40548670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164526624691082-0.164557744666061)×R²
    abs(-0.55242483--0.55261658)×3.11199749790381e-05×R²
    0.000191750000000046×3.11199749790381e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.11199749790381e-05×40589641000000     		ar = 40404.2645176377m²