Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13501 / 4021
↖ ↑ ↗
← N 79.325049°
W 31.673584°		 ← 226.29 m → N 79.325049°
W 31.662598°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
N 79.323014°
W 31.673584°		 ← 226.34 m →
51 214 m²		 N 79.323014°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412033081054688 y=0.122726440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412033081054688 × 215)
    floor (0.412033081054688 × 32768)
    floor (13501.5)     		tx = 13501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122726440429688 × 215)
    floor (0.122726440429688 × 32768)
    floor (4021.5)     		ty = 4021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13501 / 4021 ti = "15/13501/4021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13501/4021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13501 ÷ 215
    13501 ÷ 32768     		x = 0.412017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4021 ÷ 215
    4021 ÷ 32768     		y = 0.122711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.17596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55280833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122711181640625 × 2 - 1) × π
    0.75457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37057556001102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55280833} λ = -0.55280833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37057556001102))-π/2
    2×atan(10.7035510475309)-π/2
    2×1.47763980257576-π/2
    2.95527960515151-1.57079632675     		φ = 1.38448328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55280833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.673584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38448328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.325049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13501 KachelY 4021 -0.55280833 1.38448328 -31.673584 79.325049
    Oben rechts KachelX + 1 13502 KachelY 4021 -0.55261658 1.38448328 -31.662598 79.325049
    Unten links KachelX 13501 KachelY + 1 4022 -0.55280833 1.38444776 -31.673584 79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 13502 KachelY + 1 4022 -0.55261658 1.38444776 -31.662598 79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38448328-1.38444776) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38448328-1.38444776) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55280833--0.55261658) × cos(1.38448328) × R
    0.000191749999999935 × 0.185237015880315 × 6371000     		do = 226.292809152189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55280833--0.55261658) × cos(1.38444776) × R
    0.000191749999999935 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 226.335450677286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38448328)-sin(1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185237015880315-0.185271921049821)×R²
    abs(-0.55261658--0.55280833)×3.49051695060221e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49051695060221e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49051695060221e-05×40589641000000     		ar = 51214.4168717467m²