Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13501 / 3394
↖ ↑ ↗
← N 80.528456°
W 31.673584°		 ← 201.03 m → N 80.528456°
W 31.662598°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 80.526648°
W 31.673584°		 ← 201.07 m →
40 425 m²		 N 80.526648°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412033081054688 y=0.103591918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412033081054688 × 215)
    floor (0.412033081054688 × 32768)
    floor (13501.5)     		tx = 13501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103591918945312 × 215)
    floor (0.103591918945312 × 32768)
    floor (3394.5)     		ty = 3394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13501 / 3394 ti = "15/13501/3394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13501/3394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13501 ÷ 215
    13501 ÷ 32768     		x = 0.412017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3394 ÷ 215
    3394 ÷ 32768     		y = 0.10357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.17596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55280833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10357666015625 × 2 - 1) × π
    0.7928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49080130425812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55280833} λ = -0.55280833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49080130425812))-π/2
    2×atan(12.0709447455963)-π/2
    2×1.48814151307365-π/2
    2.9762830261473-1.57079632675     		φ = 1.40548670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55280833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.673584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40548670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.528456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13501 KachelY 3394 -0.55280833 1.40548670 -31.673584 80.528456
    Oben rechts KachelX + 1 13502 KachelY 3394 -0.55261658 1.40548670 -31.662598 80.528456
    Unten links KachelX 13501 KachelY + 1 3395 -0.55280833 1.40545514 -31.673584 80.526648
    Unten rechts KachelX + 1 13502 KachelY + 1 3395 -0.55261658 1.40545514 -31.662598 80.526648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40548670-1.40545514) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40548670-1.40545514) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55280833--0.55261658) × cos(1.40548670) × R
    0.000191749999999935 × 0.164557744666061 × 6371000     		do = 201.03019977547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55280833--0.55261658) × cos(1.40545514) × R
    0.000191749999999935 × 0.164588874340861 × 6371000     		du = 201.068229008046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40548670)-sin(1.40545514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164557744666061-0.164588874340861)×R²
    abs(-0.55261658--0.55280833)×3.11296748003453e-05×R²
    0.000191749999999935×3.11296748003453e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.11296748003453e-05×40589641000000     		ar = 40424.7162403521m²