Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13500 / 5388
↖ ↑ ↗
← N 52.321911°
E116.630860°		 ← 1 493.35 m → N 52.321911°
E116.652832°		 →
↑
1 493.62 m
↓
↑
1 493.62 m
↓
N 52.308479°
E116.630860°		 ← 1 493.81 m →
2 230 836 m²		 N 52.308479°
E116.652832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824005126953125 y=0.328887939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824005126953125 × 214)
    floor (0.824005126953125 × 16384)
    floor (13500.5)     		tx = 13500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328887939453125 × 214)
    floor (0.328887939453125 × 16384)
    floor (5388.5)     		ty = 5388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13500 / 5388 ti = "14/13500/5388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13500/5388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13500 ÷ 214
    13500 ÷ 16384     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5388 ÷ 214
    5388 ÷ 16384     		y = 0.328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328857421875 × 2 - 1) × π
    0.34228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0753205322771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0753205322771))-π/2
    2×atan(2.93093220836119)-π/2
    2×1.24199297133548-π/2
    2.48398594267096-1.57079632675     		φ = 0.91318962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91318962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.321911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13500 KachelY 5388 2.03559251 0.91318962 116.630860 52.321911
    Oben rechts KachelX + 1 13501 KachelY 5388 2.03597600 0.91318962 116.652832 52.321911
    Unten links KachelX 13500 KachelY + 1 5389 2.03559251 0.91295518 116.630860 52.308479
    Unten rechts KachelX + 1 13501 KachelY + 1 5389 2.03597600 0.91295518 116.652832 52.308479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91318962-0.91295518) × R
    0.000234440000000058 × 6371000     		dl = 1493.61724000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91318962-0.91295518) × R
    0.000234440000000058 × 6371000     		dr = 1493.61724000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03597600) × cos(0.91318962) × R
    0.000383489999999931 × 0.611224414818064 × 6371000     		do = 1493.35253029232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03597600) × cos(0.91295518) × R
    0.000383489999999931 × 0.611409947277127 × 6371000     		du = 1493.80582594033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91318962)-sin(0.91295518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611224414818064-0.611409947277127)×R²
    abs(2.03597600-2.03559251)×0.000185532459062721×R²
    0.000383489999999931×0.000185532459062721×6371000²
    0.000383489999999931×0.000185532459062721×40589641000000     		ar = 2230835.61995772m²