Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13500 / 3397
↖ ↑ ↗
← N 80.523031°
W 31.684570°		 ← 201.13 m → N 80.523031°
W 31.673584°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 80.521222°
W 31.684570°		 ← 201.17 m →
40 458 m²		 N 80.521222°
W 31.673584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412002563476562 y=0.103683471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412002563476562 × 215)
    floor (0.412002563476562 × 32768)
    floor (13500.5)     		tx = 13500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103683471679688 × 215)
    floor (0.103683471679688 × 32768)
    floor (3397.5)     		ty = 3397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13500 / 3397 ti = "15/13500/3397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13500/3397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13500 ÷ 215
    13500 ÷ 32768     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3397 ÷ 215
    3397 ÷ 32768     		y = 0.103668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103668212890625 × 2 - 1) × π
    0.79266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49022606146268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49022606146268))-π/2
    2×atan(12.0640030183779)-π/2
    2×1.48809416931484-π/2
    2.97618833862968-1.57079632675     		φ = 1.40539201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40539201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.523031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13500 KachelY 3397 -0.55300007 1.40539201 -31.684570 80.523031
    Oben rechts KachelX + 1 13501 KachelY 3397 -0.55280833 1.40539201 -31.673584 80.523031
    Unten links KachelX 13500 KachelY + 1 3398 -0.55300007 1.40536044 -31.684570 80.521222
    Unten rechts KachelX + 1 13501 KachelY + 1 3398 -0.55280833 1.40536044 -31.673584 80.521222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40539201-1.40536044) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40539201-1.40536044) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55280833) × cos(1.40539201) × R
    0.000191739999999996 × 0.164651143062142 × 6371000     		do = 201.133808997748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55280833) × cos(1.40536044) × R
    0.000191739999999996 × 0.164682282108455 × 6371000     		du = 201.171847695064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40539201)-sin(1.40536044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164651143062142-0.164682282108455)×R²
    abs(-0.55280833--0.55300007)×3.11390463138272e-05×R²
    0.000191739999999996×3.11390463138272e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.11390463138272e-05×40589641000000     		ar = 40458.3652162131m²