Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13500 / 3306
↖ ↑ ↗
← N 80.686233°
W 31.684570°		 ← 197.70 m → N 80.686233°
W 31.673584°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
N 80.684455°
W 31.684570°		 ← 197.74 m →
39 100 m²		 N 80.684455°
W 31.673584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412002563476562 y=0.100906372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412002563476562 × 215)
    floor (0.412002563476562 × 32768)
    floor (13500.5)     		tx = 13500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100906372070312 × 215)
    floor (0.100906372070312 × 32768)
    floor (3306.5)     		ty = 3306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13500 / 3306 ti = "15/13500/3306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13500/3306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13500 ÷ 215
    13500 ÷ 32768     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3306 ÷ 215
    3306 ÷ 32768     		y = 0.10089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10089111328125 × 2 - 1) × π
    0.7982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50767509292438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50767509292438))-π/2
    2×atan(12.2763554710512)-π/2
    2×1.48951837773667-π/2
    2.97903675547334-1.57079632675     		φ = 1.40824043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40824043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.686233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13500 KachelY 3306 -0.55300007 1.40824043 -31.684570 80.686233
    Oben rechts KachelX + 1 13501 KachelY 3306 -0.55280833 1.40824043 -31.673584 80.686233
    Unten links KachelX 13500 KachelY + 1 3307 -0.55300007 1.40820939 -31.684570 80.684455
    Unten rechts KachelX + 1 13501 KachelY + 1 3307 -0.55280833 1.40820939 -31.673584 80.684455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40824043-1.40820939) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dl = 197.755840000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40824043-1.40820939) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dr = 197.755840000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55280833) × cos(1.40824043) × R
    0.000191739999999996 × 0.16184093453498 × 6371000     		do = 197.700926998668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55280833) × cos(1.40820939) × R
    0.000191739999999996 × 0.161871565252292 × 6371000     		du = 197.73834473371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40824043)-sin(1.40820939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16184093453498-0.161871565252292)×R²
    abs(-0.55280833--0.55300007)×3.06307173127407e-05×R²
    0.000191739999999996×3.06307173127407e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.06307173127407e-05×40589641000000     		ar = 39100.2126789556m²