Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1350 / 2926
↖ ↑ ↗
← S 60.844910°
W 61.347656°		 ← 4 761.16 m → S 60.844910°
W 61.259766°		 →
↑
4 757.99 m
↓
↑
4 757.99 m
↓
S 60.887700°
W 61.347656°		 ← 4 754.78 m →
22 638 375 m²		 S 60.887700°
W 61.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3297119140625 y=0.7144775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3297119140625 × 212)
    floor (0.3297119140625 × 4096)
    floor (1350.5)     		tx = 1350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7144775390625 × 212)
    floor (0.7144775390625 × 4096)
    floor (2926.5)     		ty = 2926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1350 / 2926 ti = "12/1350/2926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1350/2926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1350 ÷ 212
    1350 ÷ 4096     		x = 0.32958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2926 ÷ 212
    2926 ÷ 4096     		y = 0.71435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.07071859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71435546875 × 2 - 1) × π
    -0.4287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3468351317251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.07071859} λ = -1.07071859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3468351317251))-π/2
    2×atan(0.260062021619081)-π/2
    2×0.254426152110981-π/2
    0.508852304221961-1.57079632675     		φ = -1.06194402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.07071859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06194402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.844910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1350 KachelY 2926 -1.07071859 -1.06194402 -61.347656 -60.844910
    Oben rechts KachelX + 1 1351 KachelY 2926 -1.06918461 -1.06194402 -61.259766 -60.844910
    Unten links KachelX 1350 KachelY + 1 2927 -1.07071859 -1.06269084 -61.347656 -60.887700
    Unten rechts KachelX + 1 1351 KachelY + 1 2927 -1.06918461 -1.06269084 -61.259766 -60.887700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06194402--1.06269084) × R
    0.000746819999999815 × 6371000     		dl = 4757.99021999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06194402--1.06269084) × R
    0.000746819999999815 × 6371000     		dr = 4757.99021999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.07071859--1.06918461) × cos(-1.06194402) × R
    0.00153398000000005 × 0.48717528264816 × 6371000     		do = 4761.15749942832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.07071859--1.06918461) × cos(-1.06269084) × R
    0.00153398000000005 × 0.486522945799752 × 6371000     		du = 4754.78222016319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06194402)-sin(-1.06269084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48717528264816-0.486522945799752)×R²
    abs(-1.06918461--1.07071859)×0.000652336848408264×R²
    0.00153398000000005×0.000652336848408264×6371000²
    0.00153398000000005×0.000652336848408264×40589641000000     		ar = 22638375.1121569m²