Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13497 / 5393
↖ ↑ ↗
← N 52.254709°
E116.564941°		 ← 1 495.66 m → N 52.254709°
E116.586914°		 →
↑
1 495.85 m
↓
↑
1 495.85 m
↓
N 52.241256°
E116.564941°		 ← 1 496.11 m →
2 237 616 m²		 N 52.241256°
E116.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823822021484375 y=0.329193115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823822021484375 × 214)
    floor (0.823822021484375 × 16384)
    floor (13497.5)     		tx = 13497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329193115234375 × 214)
    floor (0.329193115234375 × 16384)
    floor (5393.5)     		ty = 5393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13497 / 5393 ti = "14/13497/5393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13497/5393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13497 ÷ 214
    13497 ÷ 16384     		x = 0.82379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5393 ÷ 214
    5393 ÷ 16384     		y = 0.32916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82379150390625 × 2 - 1) × π
    0.6475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03444202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32916259765625 × 2 - 1) × π
    0.3416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0734030562923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03444202} λ = 2.03444202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0734030562923))-π/2
    2×atan(2.92531760089634)-π/2
    2×1.24140652251335-π/2
    2.48281304502671-1.57079632675     		φ = 0.91201672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03444202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91201672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.254709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13497 KachelY 5393 2.03444202 0.91201672 116.564941 52.254709
    Oben rechts KachelX + 1 13498 KachelY 5393 2.03482552 0.91201672 116.586914 52.254709
    Unten links KachelX 13497 KachelY + 1 5394 2.03444202 0.91178193 116.564941 52.241256
    Unten rechts KachelX + 1 13498 KachelY + 1 5394 2.03482552 0.91178193 116.586914 52.241256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91201672-0.91178193) × R
    0.00023479000000004 × 6371000     		dl = 1495.84709000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91201672-0.91178193) × R
    0.00023479000000004 × 6371000     		dr = 1495.84709000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03444202-2.03482552) × cos(0.91201672) × R
    0.00038349999999987 × 0.612152294485675 × 6371000     		do = 1495.65853984201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03444202-2.03482552) × cos(0.91178193) × R
    0.00038349999999987 × 0.612337935429099 × 6371000     		du = 1496.1121123678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91201672)-sin(0.91178193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612152294485675-0.612337935429099)×R²
    abs(2.03482552-2.03444202)×0.000185640943424326×R²
    0.00038349999999987×0.000185640943424326×6371000²
    0.00038349999999987×0.000185640943424326×40589641000000     		ar = 2237615.7223083m²