Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13497 / 2900
↖ ↑ ↗
← N 81.381067°
W 31.717529°		 ← 183.08 m → N 81.381067°
W 31.706543°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
N 81.379420°
W 31.717529°		 ← 183.11 m →
33 525 m²		 N 81.379420°
W 31.706543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411911010742188 y=0.0885162353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411911010742188 × 215)
    floor (0.411911010742188 × 32768)
    floor (13497.5)     		tx = 13497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885162353515625 × 215)
    floor (0.0885162353515625 × 32768)
    floor (2900.5)     		ty = 2900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13497 / 2900 ti = "15/13497/2900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13497/2900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13497 ÷ 215
    13497 ÷ 32768     		x = 0.411895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2900 ÷ 215
    2900 ÷ 32768     		y = 0.0885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.17620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55357532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885009765625 × 2 - 1) × π
    0.822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58552461790735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55357532} λ = -0.55357532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58552461790735))-π/2
    2×atan(13.2702490744416)-π/2
    2×1.49558194698119-π/2
    2.99116389396238-1.57079632675     		φ = 1.42036757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55357532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.717529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42036757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.381067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13497 KachelY 2900 -0.55357532 1.42036757 -31.717529 81.381067
    Oben rechts KachelX + 1 13498 KachelY 2900 -0.55338357 1.42036757 -31.706543 81.381067
    Unten links KachelX 13497 KachelY + 1 2901 -0.55357532 1.42033883 -31.717529 81.379420
    Unten rechts KachelX + 1 13498 KachelY + 1 2901 -0.55338357 1.42033883 -31.706543 81.379420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42036757-1.42033883) × R
    2.87400000000826e-05 × 6371000     		dl = 183.102540000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42036757-1.42033883) × R
    2.87400000000826e-05 × 6371000     		dr = 183.102540000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55357532--0.55338357) × cos(1.42036757) × R
    0.000191749999999935 × 0.149862061043088 × 6371000     		do = 183.07737585607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55357532--0.55338357) × cos(1.42033883) × R
    0.000191749999999935 × 0.149890476417913 × 6371000     		du = 183.11208919326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42036757)-sin(1.42033883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149862061043088-0.149890476417913)×R²
    abs(-0.55338357--0.55357532)×2.84153748250637e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84153748250637e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84153748250637e-05×40589641000000     		ar = 33525.1105883013m²