Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13496 / 3688
↖ ↑ ↗
← N 79.981890°
W 31.728515°		 ← 212.50 m → N 79.981890°
W 31.717529°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
N 79.979979°
W 31.728515°		 ← 212.54 m →
45 169 m²		 N 79.979979°
W 31.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411880493164062 y=0.112564086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411880493164062 × 215)
    floor (0.411880493164062 × 32768)
    floor (13496.5)     		tx = 13496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112564086914062 × 215)
    floor (0.112564086914062 × 32768)
    floor (3688.5)     		ty = 3688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13496 / 3688 ti = "15/13496/3688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13496/3688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13496 ÷ 215
    13496 ÷ 32768     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3688 ÷ 215
    3688 ÷ 32768     		y = 0.112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112548828125 × 2 - 1) × π
    0.77490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43442751030493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43442751030493))-π/2
    2×atan(11.4092851451714)-π/2
    2×1.48337182935185-π/2
    2.9667436587037-1.57079632675     		φ = 1.39594733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39594733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.981890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13496 KachelY 3688 -0.55376706 1.39594733 -31.728515 79.981890
    Oben rechts KachelX + 1 13497 KachelY 3688 -0.55357532 1.39594733 -31.717529 79.981890
    Unten links KachelX 13496 KachelY + 1 3689 -0.55376706 1.39591397 -31.728515 79.979979
    Unten rechts KachelX + 1 13497 KachelY + 1 3689 -0.55357532 1.39591397 -31.717529 79.979979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39594733-1.39591397) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39594733-1.39591397) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55357532) × cos(1.39594733) × R
    0.000191739999999996 × 0.173959438745632 × 6371000     		do = 212.504595323788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55357532) × cos(1.39591397) × R
    0.000191739999999996 × 0.173992290002854 × 6371000     		du = 212.544725616069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39594733)-sin(1.39591397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173959438745632-0.173992290002854)×R²
    abs(-0.55357532--0.55376706)×3.28512572223827e-05×R²
    0.000191739999999996×3.28512572223827e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.28512572223827e-05×40589641000000     		ar = 45169.2602556127m²