Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13492 / 3740
↖ ↑ ↗
← N 79.882020°
W 31.772461°		 ← 214.60 m → N 79.882020°
W 31.761475°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
N 79.880090°
W 31.772461°		 ← 214.64 m →
46 066 m²		 N 79.880090°
W 31.761475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411758422851562 y=0.114151000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411758422851562 × 215)
    floor (0.411758422851562 × 32768)
    floor (13492.5)     		tx = 13492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114151000976562 × 215)
    floor (0.114151000976562 × 32768)
    floor (3740.5)     		ty = 3740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13492 / 3740 ti = "15/13492/3740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13492/3740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13492 ÷ 215
    13492 ÷ 32768     		x = 0.4117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3740 ÷ 215
    3740 ÷ 32768     		y = 0.1141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55453405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1141357421875 × 2 - 1) × π
    0.771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42445663518396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55453405} λ = -0.55453405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42445663518396))-π/2
    2×atan(11.2960898536334)-π/2
    2×1.48250029414583-π/2
    2.96500058829166-1.57079632675     		φ = 1.39420426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55453405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39420426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.882020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13492 KachelY 3740 -0.55453405 1.39420426 -31.772461 79.882020
    Oben rechts KachelX + 1 13493 KachelY 3740 -0.55434231 1.39420426 -31.761475 79.882020
    Unten links KachelX 13492 KachelY + 1 3741 -0.55453405 1.39417057 -31.772461 79.880090
    Unten rechts KachelX + 1 13493 KachelY + 1 3741 -0.55434231 1.39417057 -31.761475 79.880090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39420426-1.39417057) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39420426-1.39417057) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55453405--0.55434231) × cos(1.39420426) × R
    0.000191739999999996 × 0.175675666702079 × 6371000     		do = 214.601097416447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55453405--0.55434231) × cos(1.39417057) × R
    0.000191739999999996 × 0.175708832658839 × 6371000     		du = 214.641612137986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39420426)-sin(1.39417057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175675666702079-0.175708832658839)×R²
    abs(-0.55434231--0.55453405)×3.31659567602838e-05×R²
    0.000191739999999996×3.31659567602838e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.31659567602838e-05×40589641000000     		ar = 46066.1108261417m²