Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13491 / 5195
↖ ↑ ↗
← N 54.838664°
E116.433106°		 ← 1 407 m → N 54.838664°
E116.455078°		 →
↑
1 407.23 m
↓
↑
1 407.23 m
↓
N 54.826008°
E116.433106°		 ← 1 407.44 m →
1 980 279 m²		 N 54.826008°
E116.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823455810546875 y=0.317108154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823455810546875 × 214)
    floor (0.823455810546875 × 16384)
    floor (13491.5)     		tx = 13491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317108154296875 × 214)
    floor (0.317108154296875 × 16384)
    floor (5195.5)     		ty = 5195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13491 / 5195 ti = "14/13491/5195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13491/5195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13491 ÷ 214
    13491 ÷ 16384     		x = 0.82342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5195 ÷ 214
    5195 ÷ 16384     		y = 0.31707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82342529296875 × 2 - 1) × π
    0.6468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03214105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31707763671875 × 2 - 1) × π
    0.3658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14933510529047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03214105} λ = 2.03214105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14933510529047))-π/2
    2×atan(3.15609374187255)-π/2
    2×1.263955782108-π/2
    2.527911564216-1.57079632675     		φ = 0.95711524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03214105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.433106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95711524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.838664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13491 KachelY 5195 2.03214105 0.95711524 116.433106 54.838664
    Oben rechts KachelX + 1 13492 KachelY 5195 2.03252454 0.95711524 116.455078 54.838664
    Unten links KachelX 13491 KachelY + 1 5196 2.03214105 0.95689436 116.433106 54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 13492 KachelY + 1 5196 2.03252454 0.95689436 116.455078 54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95711524-0.95689436) × R
    0.000220879999999979 × 6371000     		dl = 1407.22647999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95711524-0.95689436) × R
    0.000220879999999979 × 6371000     		dr = 1407.22647999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03214105-2.03252454) × cos(0.95711524) × R
    0.000383489999999931 × 0.575880767494175 × 6371000     		do = 1407.00040841807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03214105-2.03252454) × cos(0.95689436) × R
    0.000383489999999931 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 1407.44156210431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95711524)-sin(0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575880767494175-0.576061330287118)×R²
    abs(2.03252454-2.03214105)×0.000180562792943095×R²
    0.000383489999999931×0.000180562792943095×6371000²
    0.000383489999999931×0.000180562792943095×40589641000000     		ar = 1980278.6417218m²