Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13490 / 5274
↖ ↑ ↗
← N 53.826597°
E116.411133°		 ← 1 442.10 m → N 53.826597°
E116.433106°		 →
↑
1 442.33 m
↓
↑
1 442.33 m
↓
N 53.813626°
E116.411133°		 ← 1 442.55 m →
2 080 305 m²		 N 53.813626°
E116.433106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823394775390625 y=0.321929931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823394775390625 × 214)
    floor (0.823394775390625 × 16384)
    floor (13490.5)     		tx = 13490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321929931640625 × 214)
    floor (0.321929931640625 × 16384)
    floor (5274.5)     		ty = 5274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13490 / 5274 ti = "14/13490/5274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13490/5274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13490 ÷ 214
    13490 ÷ 16384     		x = 0.8233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5274 ÷ 214
    5274 ÷ 16384     		y = 0.3218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8233642578125 × 2 - 1) × π
    0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3218994140625 × 2 - 1) × π
    0.356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11903898473059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03175755} λ = 2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11903898473059))-π/2
    2×atan(3.06191024642545)-π/2
    2×1.25512383254226-π/2
    2.51024766508452-1.57079632675     		φ = 0.93945134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93945134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.826597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13490 KachelY 5274 2.03175755 0.93945134 116.411133 53.826597
    Oben rechts KachelX + 1 13491 KachelY 5274 2.03214105 0.93945134 116.433106 53.826597
    Unten links KachelX 13490 KachelY + 1 5275 2.03175755 0.93922495 116.411133 53.813626
    Unten rechts KachelX + 1 13491 KachelY + 1 5275 2.03214105 0.93922495 116.433106 53.813626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93945134-0.93922495) × R
    0.000226390000000021 × 6371000     		dl = 1442.33069000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93945134-0.93922495) × R
    0.000226390000000021 × 6371000     		dr = 1442.33069000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03175755-2.03214105) × cos(0.93945134) × R
    0.00038349999999987 × 0.590231011064945 × 6371000     		do = 1442.09873936775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03175755-2.03214105) × cos(0.93922495) × R
    0.00038349999999987 × 0.590413745730592 × 6371000     		du = 1442.54521104753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93945134)-sin(0.93922495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590231011064945-0.590413745730592)×R²
    abs(2.03214105-2.03175755)×0.000182734665647222×R²
    0.00038349999999987×0.000182734665647222×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182734665647222×40589641000000     		ar = 2080305.2585882m²