Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1349 / 2925
↖ ↑ ↗
← S 60.802063°
W 61.435547°		 ← 4 767.54 m → S 60.802063°
W 61.347656°		 →
↑
4 764.36 m
↓
↑
4 764.36 m
↓
S 60.844910°
W 61.435547°		 ← 4 761.16 m →
22 699 076 m²		 S 60.844910°
W 61.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3294677734375 y=0.7142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3294677734375 × 212)
    floor (0.3294677734375 × 4096)
    floor (1349.5)     		tx = 1349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7142333984375 × 212)
    floor (0.7142333984375 × 4096)
    floor (2925.5)     		ty = 2925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1349 / 2925 ti = "12/1349/2925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1349/2925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1349 ÷ 212
    1349 ÷ 4096     		x = 0.329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2925 ÷ 212
    2925 ÷ 4096     		y = 0.714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.34130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.07225257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.42822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.34530115093726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.07225257} λ = -1.07225257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34530115093726))-π/2
    2×atan(0.260461257895994)-π/2
    2×0.254800061230759-π/2
    0.509600122461519-1.57079632675     		φ = -1.06119620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.07225257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06119620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.802063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1349 KachelY 2925 -1.07225257 -1.06119620 -61.435547 -60.802063
    Oben rechts KachelX + 1 1350 KachelY 2925 -1.07071859 -1.06119620 -61.347656 -60.802063
    Unten links KachelX 1349 KachelY + 1 2926 -1.07225257 -1.06194402 -61.435547 -60.844910
    Unten rechts KachelX + 1 1350 KachelY + 1 2926 -1.07071859 -1.06194402 -61.347656 -60.844910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06119620--1.06194402) × R
    0.000747820000000177 × 6371000     		dl = 4764.36122000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06119620--1.06194402) × R
    0.000747820000000177 × 6371000     		dr = 4764.36122000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.07225257--1.07071859) × cos(-1.06119620) × R
    0.00153398000000005 × 0.487828220719276 × 6371000     		do = 4767.5386544349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.07225257--1.07071859) × cos(-1.06194402) × R
    0.00153398000000005 × 0.48717528264816 × 6371000     		du = 4761.15749942832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06119620)-sin(-1.06194402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.487828220719276-0.48717528264816)×R²
    abs(-1.07071859--1.07225257)×0.00065293807111505×R²
    0.00153398000000005×0.00065293807111505×6371000²
    0.00153398000000005×0.00065293807111505×40589641000000     		ar = 22699076.274163m²