Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13489 / 3089
↖ ↑ ↗
← N 81.064251°
W 31.805420°		 ← 189.75 m → N 81.064251°
W 31.794434°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 81.062544°
W 31.805420°		 ← 189.79 m →
36 017 m²		 N 81.062544°
W 31.794434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411666870117188 y=0.0942840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411666870117188 × 215)
    floor (0.411666870117188 × 32768)
    floor (13489.5)     		tx = 13489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942840576171875 × 215)
    floor (0.0942840576171875 × 32768)
    floor (3089.5)     		ty = 3089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13489 / 3089 ti = "15/13489/3089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13489/3089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13489 ÷ 215
    13489 ÷ 32768     		x = 0.411651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3089 ÷ 215
    3089 ÷ 32768     		y = 0.094268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.17669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55510930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094268798828125 × 2 - 1) × π
    0.81146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54928432179459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55510930} λ = -0.55510930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54928432179459))-π/2
    2×atan(12.7979412966981)-π/2
    2×1.49281720186617-π/2
    2.98563440373234-1.57079632675     		φ = 1.41483808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55510930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.805420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41483808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.064251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13489 KachelY 3089 -0.55510930 1.41483808 -31.805420 81.064251
    Oben rechts KachelX + 1 13490 KachelY 3089 -0.55491755 1.41483808 -31.794434 81.064251
    Unten links KachelX 13489 KachelY + 1 3090 -0.55510930 1.41480829 -31.805420 81.062544
    Unten rechts KachelX + 1 13490 KachelY + 1 3090 -0.55491755 1.41480829 -31.794434 81.062544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41483808-1.41480829) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dl = 189.792089999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41483808-1.41480829) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dr = 189.792089999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55510930--0.55491755) × cos(1.41483808) × R
    0.000191750000000046 × 0.155326787150189 × 6371000     		do = 189.753299759112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55510930--0.55491755) × cos(1.41480829) × R
    0.000191750000000046 × 0.155356215524291 × 6371000     		du = 189.789250615979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41483808)-sin(1.41480829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155326787150189-0.155356215524291)×R²
    abs(-0.55491755--0.55510930)×2.94283741020529e-05×R²
    0.000191750000000046×2.94283741020529e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.94283741020529e-05×40589641000000     		ar = 36017.0869418069m²