Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13488 / 3440
↖ ↑ ↗
← N 80.444930°
W 31.816407°		 ← 202.79 m → N 80.444930°
W 31.805420°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 80.443107°
W 31.816407°		 ← 202.82 m →
41 127 m²		 N 80.443107°
W 31.805420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411636352539062 y=0.104995727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411636352539062 × 215)
    floor (0.411636352539062 × 32768)
    floor (13488.5)     		tx = 13488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104995727539062 × 215)
    floor (0.104995727539062 × 32768)
    floor (3440.5)     		ty = 3440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13488 / 3440 ti = "15/13488/3440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13488/3440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13488 ÷ 215
    13488 ÷ 32768     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3440 ÷ 215
    3440 ÷ 32768     		y = 0.10498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10498046875 × 2 - 1) × π
    0.7900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48198091472803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48198091472803))-π/2
    2×atan(11.9649424887826)-π/2
    2×1.48741261546342-π/2
    2.97482523092684-1.57079632675     		φ = 1.40402890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40402890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.444930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13488 KachelY 3440 -0.55530105 1.40402890 -31.816407 80.444930
    Oben rechts KachelX + 1 13489 KachelY 3440 -0.55510930 1.40402890 -31.805420 80.444930
    Unten links KachelX 13488 KachelY + 1 3441 -0.55530105 1.40399707 -31.816407 80.443107
    Unten rechts KachelX + 1 13489 KachelY + 1 3441 -0.55510930 1.40399707 -31.805420 80.443107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40402890-1.40399707) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40402890-1.40399707) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55510930) × cos(1.40402890) × R
    0.000191749999999935 × 0.165995495769574 × 6371000     		do = 202.786612955251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55510930) × cos(1.40399707) × R
    0.000191749999999935 × 0.166026884092319 × 6371000     		du = 202.824958162309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40402890)-sin(1.40399707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165995495769574-0.166026884092319)×R²
    abs(-0.55510930--0.55530105)×3.13883227456568e-05×R²
    0.000191749999999935×3.13883227456568e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.13883227456568e-05×40589641000000     		ar = 41126.7682547898m²