Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13487 / 5216
↖ ↑ ↗
← N 54.572062°
E116.345215°		 ← 1 416.28 m → N 54.572062°
E116.367187°		 →
↑
1 416.53 m
↓
↑
1 416.53 m
↓
N 54.559323°
E116.345215°		 ← 1 416.72 m →
2 006 513 m²		 N 54.559323°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823211669921875 y=0.318389892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823211669921875 × 214)
    floor (0.823211669921875 × 16384)
    floor (13487.5)     		tx = 13487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318389892578125 × 214)
    floor (0.318389892578125 × 16384)
    floor (5216.5)     		ty = 5216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13487 / 5216 ti = "14/13487/5216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13487/5216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13487 ÷ 214
    13487 ÷ 16384     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5216 ÷ 214
    5216 ÷ 16384     		y = 0.318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318359375 × 2 - 1) × π
    0.36328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1412817061543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1412817061543))-π/2
    2×atan(3.13077853282216)-π/2
    2×1.26162924113429-π/2
    2.52325848226858-1.57079632675     		φ = 0.95246216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95246216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.572062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13487 KachelY 5216 2.03060707 0.95246216 116.345215 54.572062
    Oben rechts KachelX + 1 13488 KachelY 5216 2.03099056 0.95246216 116.367187 54.572062
    Unten links KachelX 13487 KachelY + 1 5217 2.03060707 0.95223982 116.345215 54.559323
    Unten rechts KachelX + 1 13488 KachelY + 1 5217 2.03099056 0.95223982 116.367187 54.559323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95246216-0.95223982) × R
    0.000222339999999988 × 6371000     		dl = 1416.52813999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95246216-0.95223982) × R
    0.000222339999999988 × 6371000     		dr = 1416.52813999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03099056) × cos(0.95246216) × R
    0.000383489999999931 × 0.579678569220153 × 6371000     		do = 1416.27925376446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03099056) × cos(0.95223982) × R
    0.000383489999999931 × 0.579859727579899 × 6371000     		du = 1416.72186254832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95246216)-sin(0.95223982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579678569220153-0.579859727579899)×R²
    abs(2.03099056-2.03060707)×0.000181158359746303×R²
    0.000383489999999931×0.000181158359746303×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181158359746303×40589641000000     		ar = 2006512.90922034m²