Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13486 / 5379
↖ ↑ ↗
← N 52.442618°
E116.323242°		 ← 1 489.31 m → N 52.442618°
E116.345215°		 →
↑
1 489.54 m
↓
↑
1 489.54 m
↓
N 52.429222°
E116.323242°		 ← 1 489.77 m →
2 218 730 m²		 N 52.429222°
E116.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823150634765625 y=0.328338623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823150634765625 × 214)
    floor (0.823150634765625 × 16384)
    floor (13486.5)     		tx = 13486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328338623046875 × 214)
    floor (0.328338623046875 × 16384)
    floor (5379.5)     		ty = 5379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13486 / 5379 ti = "14/13486/5379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13486/5379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13486 ÷ 214
    13486 ÷ 16384     		x = 0.8231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5379 ÷ 214
    5379 ÷ 16384     		y = 0.32830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8231201171875 × 2 - 1) × π
    0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32830810546875 × 2 - 1) × π
    0.3433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07877198904974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03022357} λ = 2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07877198904974))-π/2
    2×atan(2.94106567172767)-π/2
    2×1.24304633849694-π/2
    2.48609267699389-1.57079632675     		φ = 0.91529635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91529635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.442618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13486 KachelY 5379 2.03022357 0.91529635 116.323242 52.442618
    Oben rechts KachelX + 1 13487 KachelY 5379 2.03060707 0.91529635 116.345215 52.442618
    Unten links KachelX 13486 KachelY + 1 5380 2.03022357 0.91506255 116.323242 52.429222
    Unten rechts KachelX + 1 13487 KachelY + 1 5380 2.03060707 0.91506255 116.345215 52.429222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91529635-0.91506255) × R
    0.000233799999999951 × 6371000     		dl = 1489.53979999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91529635-0.91506255) × R
    0.000233799999999951 × 6371000     		dr = 1489.53979999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03022357-2.03060707) × cos(0.91529635) × R
    0.00038349999999987 × 0.609555672736351 × 6371000     		do = 1489.31426974926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03022357-2.03060707) × cos(0.91506255) × R
    0.00038349999999987 × 0.60974099944977 × 6371000     		du = 1489.76707452363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91529635)-sin(0.91506255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609555672736351-0.60974099944977)×R²
    abs(2.03060707-2.03022357)×0.000185326713419198×R²
    0.00038349999999987×0.000185326713419198×6371000²
    0.00038349999999987×0.000185326713419198×40589641000000     		ar = 2218730.12497244m²