Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13486 / 5260
↖ ↑ ↗
← N 54.007769°
E116.323242°		 ← 1 435.86 m → N 54.007769°
E116.345215°		 →
↑
1 436.09 m
↓
↑
1 436.09 m
↓
N 53.994854°
E116.323242°		 ← 1 436.30 m →
2 062 333 m²		 N 53.994854°
E116.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823150634765625 y=0.321075439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823150634765625 × 214)
    floor (0.823150634765625 × 16384)
    floor (13486.5)     		tx = 13486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321075439453125 × 214)
    floor (0.321075439453125 × 16384)
    floor (5260.5)     		ty = 5260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13486 / 5260 ti = "14/13486/5260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13486/5260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13486 ÷ 214
    13486 ÷ 16384     		x = 0.8231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5260 ÷ 214
    5260 ÷ 16384     		y = 0.321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8231201171875 × 2 - 1) × π
    0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321044921875 × 2 - 1) × π
    0.35791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12440791748804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03022357} λ = 2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12440791748804))-π/2
    2×atan(3.07839364618522)-π/2
    2×1.25670485666376-π/2
    2.51340971332751-1.57079632675     		φ = 0.94261339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94261339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.007769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13486 KachelY 5260 2.03022357 0.94261339 116.323242 54.007769
    Oben rechts KachelX + 1 13487 KachelY 5260 2.03060707 0.94261339 116.345215 54.007769
    Unten links KachelX 13486 KachelY + 1 5261 2.03022357 0.94238798 116.323242 53.994854
    Unten rechts KachelX + 1 13487 KachelY + 1 5261 2.03060707 0.94238798 116.345215 53.994854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94261339-0.94238798) × R
    0.000225409999999981 × 6371000     		dl = 1436.08710999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94261339-0.94238798) × R
    0.000225409999999981 × 6371000     		dr = 1436.08710999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03022357-2.03060707) × cos(0.94261339) × R
    0.00038349999999987 × 0.587675549101293 × 6371000     		do = 1435.8550340944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03022357-2.03060707) × cos(0.94238798) × R
    0.00038349999999987 × 0.587857912654176 × 6371000     		du = 1436.30059904234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94261339)-sin(0.94238798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587675549101293-0.587857912654176)×R²
    abs(2.03060707-2.03022357)×0.000182363552882814×R²
    0.00038349999999987×0.000182363552882814×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182363552882814×40589641000000     		ar = 2062332.85006242m²