Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13486 / 4685
↖ ↑ ↗
← N 77.885732°
W 31.838379°		 ← 256.38 m → N 77.885732°
W 31.827392°		 →
↑
256.37 m
↓
↑
256.37 m
↓
N 77.883427°
W 31.838379°		 ← 256.42 m →
65 733 m²		 N 77.883427°
W 31.827392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411575317382812 y=0.142990112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411575317382812 × 215)
    floor (0.411575317382812 × 32768)
    floor (13486.5)     		tx = 13486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142990112304688 × 215)
    floor (0.142990112304688 × 32768)
    floor (4685.5)     		ty = 4685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13486 / 4685 ti = "15/13486/4685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13486/4685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13486 ÷ 215
    13486 ÷ 32768     		x = 0.41156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4685 ÷ 215
    4685 ÷ 32768     		y = 0.142974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55568454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142974853515625 × 2 - 1) × π
    0.71405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24325515462015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55568454} λ = -0.55568454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24325515462015))-π/2
    2×atan(9.42395785324193)-π/2
    2×1.46507939971631-π/2
    2.93015879943261-1.57079632675     		φ = 1.35936247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55568454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.838379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35936247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.885732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13486 KachelY 4685 -0.55568454 1.35936247 -31.838379 77.885732
    Oben rechts KachelX + 1 13487 KachelY 4685 -0.55549279 1.35936247 -31.827392 77.885732
    Unten links KachelX 13486 KachelY + 1 4686 -0.55568454 1.35932223 -31.838379 77.883427
    Unten rechts KachelX + 1 13487 KachelY + 1 4686 -0.55549279 1.35932223 -31.827392 77.883427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35936247-1.35932223) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dl = 256.36903999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35936247-1.35932223) × R
    4.02399999999137e-05 × 6371000     		dr = 256.36903999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55568454--0.55549279) × cos(1.35936247) × R
    0.000191750000000046 × 0.209862041347228 × 6371000     		do = 256.375706794958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55568454--0.55549279) × cos(1.35932223) × R
    0.000191750000000046 × 0.209901385073061 × 6371000     		du = 256.423770634677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35936247)-sin(1.35932223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209862041347228-0.209901385073061)×R²
    abs(-0.55549279--0.55568454)×3.93437258325857e-05×R²
    0.000191750000000046×3.93437258325857e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.93437258325857e-05×40589641000000     		ar = 65732.9548792083m²