Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13485 / 5273
↖ ↑ ↗
← N 53.839563°
E116.301270°		 ← 1 441.61 m → N 53.839563°
E116.323242°		 →
↑
1 441.82 m
↓
↑
1 441.82 m
↓
N 53.826597°
E116.301270°		 ← 1 442.06 m →
2 078 872 m²		 N 53.826597°
E116.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823089599609375 y=0.321868896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823089599609375 × 214)
    floor (0.823089599609375 × 16384)
    floor (13485.5)     		tx = 13485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321868896484375 × 214)
    floor (0.321868896484375 × 16384)
    floor (5273.5)     		ty = 5273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13485 / 5273 ti = "14/13485/5273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13485/5273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13485 ÷ 214
    13485 ÷ 16384     		x = 0.82305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5273 ÷ 214
    5273 ÷ 16384     		y = 0.32183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82305908203125 × 2 - 1) × π
    0.6461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02984008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32183837890625 × 2 - 1) × π
    0.3563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11942247992755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02984008} λ = 2.02984008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11942247992755))-π/2
    2×atan(3.06308469948264)-π/2
    2×1.25523699040441-π/2
    2.51047398080881-1.57079632675     		φ = 0.93967765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02984008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.301270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93967765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.839563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13485 KachelY 5273 2.02984008 0.93967765 116.301270 53.839563
    Oben rechts KachelX + 1 13486 KachelY 5273 2.03022357 0.93967765 116.323242 53.839563
    Unten links KachelX 13485 KachelY + 1 5274 2.02984008 0.93945134 116.301270 53.826597
    Unten rechts KachelX + 1 13486 KachelY + 1 5274 2.03022357 0.93945134 116.323242 53.826597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93967765-0.93945134) × R
    0.000226310000000063 × 6371000     		dl = 1441.8210100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93967765-0.93945134) × R
    0.000226310000000063 × 6371000     		dr = 1441.8210100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02984008-2.03022357) × cos(0.93967765) × R
    0.000383489999999931 × 0.59004831073796 × 6371000     		do = 1441.61475960924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02984008-2.03022357) × cos(0.93945134) × R
    0.000383489999999931 × 0.590231011064945 × 6371000     		du = 1442.06113575027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93967765)-sin(0.93945134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59004831073796-0.590231011064945)×R²
    abs(2.03022357-2.02984008)×0.000182700326984753×R²
    0.000383489999999931×0.000182700326984753×6371000²
    0.000383489999999931×0.000182700326984753×40589641000000     		ar = 2078872.25485273m²