Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13485 / 5217
↖ ↑ ↗
← N 54.559323°
E116.301270°		 ← 1 416.72 m → N 54.559323°
E116.323242°		 →
↑
1 416.97 m
↓
↑
1 416.97 m
↓
N 54.546580°
E116.301270°		 ← 1 417.16 m →
2 007 772 m²		 N 54.546580°
E116.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823089599609375 y=0.318450927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823089599609375 × 214)
    floor (0.823089599609375 × 16384)
    floor (13485.5)     		tx = 13485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318450927734375 × 214)
    floor (0.318450927734375 × 16384)
    floor (5217.5)     		ty = 5217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13485 / 5217 ti = "14/13485/5217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13485/5217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13485 ÷ 214
    13485 ÷ 16384     		x = 0.82305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5217 ÷ 214
    5217 ÷ 16384     		y = 0.31842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82305908203125 × 2 - 1) × π
    0.6461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02984008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31842041015625 × 2 - 1) × π
    0.3631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14089821095734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02984008} λ = 2.02984008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14089821095734))-π/2
    2×atan(3.12957812448221)-π/2
    2×1.26151807179225-π/2
    2.5230361435845-1.57079632675     		φ = 0.95223982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02984008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.301270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95223982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.559323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13485 KachelY 5217 2.02984008 0.95223982 116.301270 54.559323
    Oben rechts KachelX + 1 13486 KachelY 5217 2.03022357 0.95223982 116.323242 54.559323
    Unten links KachelX 13485 KachelY + 1 5218 2.02984008 0.95201741 116.301270 54.546580
    Unten rechts KachelX + 1 13486 KachelY + 1 5218 2.03022357 0.95201741 116.323242 54.546580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95223982-0.95201741) × R
    0.000222410000000006 × 6371000     		dl = 1416.97411000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95223982-0.95201741) × R
    0.000222410000000006 × 6371000     		dr = 1416.97411000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02984008-2.03022357) × cos(0.95223982) × R
    0.000383489999999931 × 0.579859727579899 × 6371000     		do = 1416.72186254832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02984008-2.03022357) × cos(0.95201741) × R
    0.000383489999999931 × 0.580040914295352 × 6371000     		du = 1417.16454061127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95223982)-sin(0.95201741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579859727579899-0.580040914295352)×R²
    abs(2.03022357-2.02984008)×0.000181186715452419×R²
    0.000383489999999931×0.000181186715452419×6371000²
    0.000383489999999931×0.000181186715452419×40589641000000     		ar = 2007771.84025441m²