Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13485 / 3340
↖ ↑ ↗
← N 80.625585°
W 31.849365°		 ← 198.99 m → N 80.625585°
W 31.838379°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 80.623795°
W 31.849365°		 ← 199.02 m →
39 608 m²		 N 80.623795°
W 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411544799804688 y=0.101943969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411544799804688 × 215)
    floor (0.411544799804688 × 32768)
    floor (13485.5)     		tx = 13485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101943969726562 × 215)
    floor (0.101943969726562 × 32768)
    floor (3340.5)     		ty = 3340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13485 / 3340 ti = "15/13485/3340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13485/3340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13485 ÷ 215
    13485 ÷ 32768     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3340 ÷ 215
    3340 ÷ 32768     		y = 0.1019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1019287109375 × 2 - 1) × π
    0.796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50115567457605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50115567457605))-π/2
    2×atan(12.1965810977519)-π/2
    2×1.48898912280381-π/2
    2.97797824560762-1.57079632675     		φ = 1.40718192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40718192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.625585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13485 KachelY 3340 -0.55587629 1.40718192 -31.849365 80.625585
    Oben rechts KachelX + 1 13486 KachelY 3340 -0.55568454 1.40718192 -31.838379 80.625585
    Unten links KachelX 13485 KachelY + 1 3341 -0.55587629 1.40715068 -31.849365 80.623795
    Unten rechts KachelX + 1 13486 KachelY + 1 3341 -0.55568454 1.40715068 -31.838379 80.623795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40718192-1.40715068) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40718192-1.40715068) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55568454) × cos(1.40718192) × R
    0.000191750000000046 × 0.162885399185846 × 6371000     		do = 198.987196897396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55568454) × cos(1.40715068) × R
    0.000191750000000046 × 0.162916221896011 × 6371000     		du = 199.024851129924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40718192)-sin(1.40715068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162885399185846-0.162916221896011)×R²
    abs(-0.55568454--0.55587629)×3.08227101648573e-05×R²
    0.000191750000000046×3.08227101648573e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.08227101648573e-05×40589641000000     		ar = 39608.1769226506m²