Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13485 / 2907
↖ ↑ ↗
← N 81.369534°
W 31.849365°		 ← 183.32 m → N 81.369534°
W 31.838379°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 81.367886°
W 31.849365°		 ← 183.36 m →
33 605 m²		 N 81.367886°
W 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411544799804688 y=0.0887298583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411544799804688 × 215)
    floor (0.411544799804688 × 32768)
    floor (13485.5)     		tx = 13485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887298583984375 × 215)
    floor (0.0887298583984375 × 32768)
    floor (2907.5)     		ty = 2907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13485 / 2907 ti = "15/13485/2907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13485/2907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13485 ÷ 215
    13485 ÷ 32768     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2907 ÷ 215
    2907 ÷ 32768     		y = 0.088714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088714599609375 × 2 - 1) × π
    0.82257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58418238471799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58418238471799))-π/2
    2×atan(13.2524492541299)-π/2
    2×1.49548130529914-π/2
    2.99096261059827-1.57079632675     		φ = 1.42016628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42016628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.369534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13485 KachelY 2907 -0.55587629 1.42016628 -31.849365 81.369534
    Oben rechts KachelX + 1 13486 KachelY 2907 -0.55568454 1.42016628 -31.838379 81.369534
    Unten links KachelX 13485 KachelY + 1 2908 -0.55587629 1.42013751 -31.849365 81.367886
    Unten rechts KachelX + 1 13486 KachelY + 1 2908 -0.55568454 1.42013751 -31.838379 81.367886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42016628-1.42013751) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dl = 183.293669999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42016628-1.42013751) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dr = 183.293669999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55568454) × cos(1.42016628) × R
    0.000191750000000046 × 0.150061074820522 × 6371000     		do = 183.32049889798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55568454) × cos(1.42013751) × R
    0.000191750000000046 × 0.150089518987898 × 6371000     		du = 183.35524740928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42016628)-sin(1.42013751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150061074820522-0.150089518987898)×R²
    abs(-0.55568454--0.55587629)×2.84441673762126e-05×R²
    0.000191750000000046×2.84441673762126e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.84441673762126e-05×40589641000000     		ar = 33604.6716229768m²