Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13485 / 2901
↖ ↑ ↗
← N 81.379420°
W 31.849365°		 ← 183.11 m → N 81.379420°
W 31.838379°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 81.377773°
W 31.849365°		 ← 183.15 m →
33 543 m²		 N 81.377773°
W 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411544799804688 y=0.0885467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411544799804688 × 215)
    floor (0.411544799804688 × 32768)
    floor (13485.5)     		tx = 13485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885467529296875 × 215)
    floor (0.0885467529296875 × 32768)
    floor (2901.5)     		ty = 2901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13485 / 2901 ti = "15/13485/2901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13485/2901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13485 ÷ 215
    13485 ÷ 32768     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2901 ÷ 215
    2901 ÷ 32768     		y = 0.088531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088531494140625 × 2 - 1) × π
    0.82293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58533287030887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58533287030887))-π/2
    2×atan(13.2677047799893)-π/2
    2×1.49556757777374-π/2
    2.99113515554747-1.57079632675     		φ = 1.42033883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42033883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.379420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13485 KachelY 2901 -0.55587629 1.42033883 -31.849365 81.379420
    Oben rechts KachelX + 1 13486 KachelY 2901 -0.55568454 1.42033883 -31.838379 81.379420
    Unten links KachelX 13485 KachelY + 1 2902 -0.55587629 1.42031008 -31.849365 81.377773
    Unten rechts KachelX + 1 13486 KachelY + 1 2902 -0.55568454 1.42031008 -31.838379 81.377773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42033883-1.42031008) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dl = 183.166250000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42033883-1.42031008) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dr = 183.166250000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55568454) × cos(1.42033883) × R
    0.000191750000000046 × 0.149890476417913 × 6371000     		do = 183.112089193366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55568454) × cos(1.42031008) × R
    0.000191750000000046 × 0.149918901555914 × 6371000     		du = 183.146814457634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42033883)-sin(1.42031008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149890476417913-0.149918901555914)×R²
    abs(-0.55568454--0.55587629)×2.84251380002765e-05×R²
    0.000191750000000046×2.84251380002765e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.84251380002765e-05×40589641000000     		ar = 33543.1349579411m²