Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13485 / 15619
↖ ↑ ↗
← N 79.559053°
W142.962341°		 ← 55.34 m → N 79.559053°
W142.959595°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.558555°
W142.962341°		 ← 55.34 m →
3 064 m²		 N 79.558555°
W142.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.102886199951172 y=0.119167327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.102886199951172 × 217)
    floor (0.102886199951172 × 131072)
    floor (13485.5)     		tx = 13485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119167327880859 × 217)
    floor (0.119167327880859 × 131072)
    floor (15619.5)     		ty = 15619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13485 / 15619 ti = "17/13485/15619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13485/15619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13485 ÷ 217
    13485 ÷ 131072     		x = 0.102882385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15619 ÷ 217
    15619 ÷ 131072     		y = 0.119163513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.102882385253906 × 2 - 1) × π
    -0.794235229492188 × 3.1415926535     		Λ = -2.49516356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119163513183594 × 2 - 1) × π
    0.761672973632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.39286621833434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49516356} λ = -2.49516356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39286621833434))-π/2
    2×atan(10.9448192706421)-π/2
    2×1.47968187697429-π/2
    2.95936375394858-1.57079632675     		φ = 1.38856743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49516356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.962341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38856743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.559053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13485 KachelY 15619 -2.49516356 1.38856743 -142.962341 79.559053
    Oben rechts KachelX + 1 13486 KachelY 15619 -2.49511563 1.38856743 -142.959595 79.559053
    Unten links KachelX 13485 KachelY + 1 15620 -2.49516356 1.38855874 -142.962341 79.558555
    Unten rechts KachelX + 1 13486 KachelY + 1 15620 -2.49511563 1.38855874 -142.959595 79.558555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38856743-1.38855874) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dl = 55.3639900002128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38856743-1.38855874) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dr = 55.3639900002128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49516356--2.49511563) × cos(1.38856743) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181222012956088 × 6371000     		do = 55.3383217569913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49516356--2.49511563) × cos(1.38855874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.181230559062058 × 6371000     		du = 55.3409314132587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38856743)-sin(1.38855874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181222012956088-0.181230559062058)×R²
    abs(-2.49511563--2.49516356)×8.54610596934258e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.54610596934258e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.54610596934258e-06×40589641000000     		ar = 3063.82253278556m²