Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13484 / 5218
↖ ↑ ↗
← N 54.546580°
E116.279297°		 ← 1 417.20 m → N 54.546580°
E116.301270°		 →
↑
1 417.42 m
↓
↑
1 417.42 m
↓
N 54.533832°
E116.279297°		 ← 1 417.64 m →
2 009 084 m²		 N 54.533832°
E116.301270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823028564453125 y=0.318511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823028564453125 × 214)
    floor (0.823028564453125 × 16384)
    floor (13484.5)     		tx = 13484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318511962890625 × 214)
    floor (0.318511962890625 × 16384)
    floor (5218.5)     		ty = 5218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13484 / 5218 ti = "14/13484/5218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13484/5218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13484 ÷ 214
    13484 ÷ 16384     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5218 ÷ 214
    5218 ÷ 16384     		y = 0.3184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3184814453125 × 2 - 1) × π
    0.363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14051471576038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14051471576038))-π/2
    2×atan(3.12837817640482)-π/2
    2×1.26140686771106-π/2
    2.52281373542212-1.57079632675     		φ = 0.95201741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95201741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.546580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13484 KachelY 5218 2.02945658 0.95201741 116.279297 54.546580
    Oben rechts KachelX + 1 13485 KachelY 5218 2.02984008 0.95201741 116.301270 54.546580
    Unten links KachelX 13484 KachelY + 1 5219 2.02945658 0.95179493 116.279297 54.533832
    Unten rechts KachelX + 1 13485 KachelY + 1 5219 2.02984008 0.95179493 116.301270 54.533832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95201741-0.95179493) × R
    0.000222479999999914 × 6371000     		dl = 1417.42007999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95201741-0.95179493) × R
    0.000222479999999914 × 6371000     		dr = 1417.42007999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.02984008) × cos(0.95201741) × R
    0.00038349999999987 × 0.580040914295352 × 6371000     		do = 1417.20149501769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.02984008) × cos(0.95179493) × R
    0.00038349999999987 × 0.58022212933046 × 6371000     		du = 1417.64425381685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95201741)-sin(0.95179493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580040914295352-0.58022212933046)×R²
    abs(2.02984008-2.02945658)×0.000181215035108484×R²
    0.00038349999999987×0.000181215035108484×6371000²
    0.00038349999999987×0.000181215035108484×40589641000000     		ar = 2009083.65233774m²