Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13484 / 3341
↖ ↑ ↗
← N 80.623795°
W 31.860352°		 ← 199.02 m → N 80.623795°
W 31.849365°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 80.622005°
W 31.860352°		 ← 199.06 m →
39 616 m²		 N 80.622005°
W 31.849365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411514282226562 y=0.101974487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411514282226562 × 215)
    floor (0.411514282226562 × 32768)
    floor (13484.5)     		tx = 13484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101974487304688 × 215)
    floor (0.101974487304688 × 32768)
    floor (3341.5)     		ty = 3341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13484 / 3341 ti = "15/13484/3341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13484/3341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13484 ÷ 215
    13484 ÷ 32768     		x = 0.4114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3341 ÷ 215
    3341 ÷ 32768     		y = 0.101959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55606804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101959228515625 × 2 - 1) × π
    0.79608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50096392697757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55606804} λ = -0.55606804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50096392697757))-π/2
    2×atan(12.1942426568191)-π/2
    2×1.48897350488433-π/2
    2.97794700976866-1.57079632675     		φ = 1.40715068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55606804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.860352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40715068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.623795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13484 KachelY 3341 -0.55606804 1.40715068 -31.860352 80.623795
    Oben rechts KachelX + 1 13485 KachelY 3341 -0.55587629 1.40715068 -31.849365 80.623795
    Unten links KachelX 13484 KachelY + 1 3342 -0.55606804 1.40711944 -31.860352 80.622005
    Unten rechts KachelX + 1 13485 KachelY + 1 3342 -0.55587629 1.40711944 -31.849365 80.622005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40715068-1.40711944) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40715068-1.40711944) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55606804--0.55587629) × cos(1.40715068) × R
    0.000191749999999935 × 0.162916221896011 × 6371000     		do = 199.024851129809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55606804--0.55587629) × cos(1.40711944) × R
    0.000191749999999935 × 0.16294704444718 × 6371000     		du = 199.062505168102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40715068)-sin(1.40711944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162916221896011-0.16294704444718)×R²
    abs(-0.55587629--0.55606804)×3.0822551168791e-05×R²
    0.000191749999999935×3.0822551168791e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.0822551168791e-05×40589641000000     		ar = 39615.6712267104m²