Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13484 / 2908
↖ ↑ ↗
← N 81.367886°
W 31.860352°		 ← 183.36 m → N 81.367886°
W 31.849365°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
N 81.366237°
W 31.860352°		 ← 183.39 m →
33 623 m²		 N 81.366237°
W 31.849365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411514282226562 y=0.0887603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411514282226562 × 215)
    floor (0.411514282226562 × 32768)
    floor (13484.5)     		tx = 13484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887603759765625 × 215)
    floor (0.0887603759765625 × 32768)
    floor (2908.5)     		ty = 2908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13484 / 2908 ti = "15/13484/2908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13484/2908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13484 ÷ 215
    13484 ÷ 32768     		x = 0.4114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2908 ÷ 215
    2908 ÷ 32768     		y = 0.0887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55606804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0887451171875 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58399063711951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55606804} λ = -0.55606804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58399063711951))-π/2
    2×atan(13.2499083724232)-π/2
    2×1.49546691701034-π/2
    2.99093383402068-1.57079632675     		φ = 1.42013751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55606804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.860352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42013751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.367886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13484 KachelY 2908 -0.55606804 1.42013751 -31.860352 81.367886
    Oben rechts KachelX + 1 13485 KachelY 2908 -0.55587629 1.42013751 -31.849365 81.367886
    Unten links KachelX 13484 KachelY + 1 2909 -0.55606804 1.42010873 -31.860352 81.366237
    Unten rechts KachelX + 1 13485 KachelY + 1 2909 -0.55587629 1.42010873 -31.849365 81.366237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42013751-1.42010873) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dl = 183.357380000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42013751-1.42010873) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dr = 183.357380000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55606804--0.55587629) × cos(1.42013751) × R
    0.000191749999999935 × 0.150089518987898 × 6371000     		do = 183.355247409174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55606804--0.55587629) × cos(1.42010873) × R
    0.000191749999999935 × 0.150117972917724 × 6371000     		du = 183.390007846667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42013751)-sin(1.42010873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150089518987898-0.150117972917724)×R²
    abs(-0.55587629--0.55606804)×2.84539298262831e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84539298262831e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84539298262831e-05×40589641000000     		ar = 33622.7245681546m²