Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13484 / 15618
↖ ↑ ↗
← N 79.559551°
W142.965088°		 ← 55.35 m → N 79.559551°
W142.962341°		 →
↑
55.30 m
↓
↑
55.30 m
↓
N 79.559053°
W142.965088°		 ← 55.35 m →
3 061 m²		 N 79.559053°
W142.962341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.102878570556641 y=0.119159698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.102878570556641 × 217)
    floor (0.102878570556641 × 131072)
    floor (13484.5)     		tx = 13484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119159698486328 × 217)
    floor (0.119159698486328 × 131072)
    floor (15618.5)     		ty = 15618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13484 / 15618 ti = "17/13484/15618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13484/15618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13484 ÷ 217
    13484 ÷ 131072     		x = 0.102874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15618 ÷ 217
    15618 ÷ 131072     		y = 0.119155883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.102874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.79425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49521150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119155883789062 × 2 - 1) × π
    0.761688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39291415523396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49521150} λ = -2.49521150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39291415523396))-π/2
    2×atan(10.9453439439203)-π/2
    2×1.47968622048269-π/2
    2.95937244096539-1.57079632675     		φ = 1.38857611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49521150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38857611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.559551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13484 KachelY 15618 -2.49521150 1.38857611 -142.965088 79.559551
    Oben rechts KachelX + 1 13485 KachelY 15618 -2.49516356 1.38857611 -142.962341 79.559551
    Unten links KachelX 13484 KachelY + 1 15619 -2.49521150 1.38856743 -142.965088 79.559053
    Unten rechts KachelX + 1 13485 KachelY + 1 15619 -2.49516356 1.38856743 -142.962341 79.559053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38857611-1.38856743) × R
    8.68000000009417e-06 × 6371000     		dl = 55.3002800005999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38857611-1.38856743) × R
    8.68000000009417e-06 × 6371000     		dr = 55.3002800005999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49521150--2.49516356) × cos(1.38857611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181213476670871 × 6371000     		do = 55.3472602101373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49521150--2.49516356) × cos(1.38856743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181222012956088 × 6371000     		du = 55.3498674113665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38857611)-sin(1.38856743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181213476670871-0.181222012956088)×R²
    abs(-2.49516356--2.49521150)×8.53628521674255e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.53628521674255e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.53628521674255e-06×40589641000000     		ar = 3060.79107638887m²