Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13483 / 5213
↖ ↑ ↗
← N 54.610255°
E116.257324°		 ← 1 414.95 m → N 54.610255°
E116.279297°		 →
↑
1 415.19 m
↓
↑
1 415.19 m
↓
N 54.597528°
E116.257324°		 ← 1 415.39 m →
2 002 739 m²		 N 54.597528°
E116.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822967529296875 y=0.318206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822967529296875 × 214)
    floor (0.822967529296875 × 16384)
    floor (13483.5)     		tx = 13483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318206787109375 × 214)
    floor (0.318206787109375 × 16384)
    floor (5213.5)     		ty = 5213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13483 / 5213 ti = "14/13483/5213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13483/5213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13483 ÷ 214
    13483 ÷ 16384     		x = 0.82293701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5213 ÷ 214
    5213 ÷ 16384     		y = 0.31817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82293701171875 × 2 - 1) × π
    0.6458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02907309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31817626953125 × 2 - 1) × π
    0.3636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14243219174518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02907309} λ = 2.02907309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14243219174518))-π/2
    2×atan(3.13438252118323)-π/2
    2×1.26196254077909-π/2
    2.52392508155818-1.57079632675     		φ = 0.95312875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02907309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95312875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.610255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13483 KachelY 5213 2.02907309 0.95312875 116.257324 54.610255
    Oben rechts KachelX + 1 13484 KachelY 5213 2.02945658 0.95312875 116.279297 54.610255
    Unten links KachelX 13483 KachelY + 1 5214 2.02907309 0.95290662 116.257324 54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 13484 KachelY + 1 5214 2.02945658 0.95290662 116.279297 54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95312875-0.95290662) × R
    0.000222129999999932 × 6371000     		dl = 1415.19022999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95312875-0.95290662) × R
    0.000222129999999932 × 6371000     		dr = 1415.19022999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02907309-2.02945658) × cos(0.95312875) × R
    0.000383490000000375 × 0.579135272787602 × 6371000     		do = 1414.95186388674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02907309-2.02945658) × cos(0.95290662) × R
    0.000383490000000375 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 1415.39426430234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95312875)-sin(0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579135272787602-0.579316345862885)×R²
    abs(2.02945658-2.02907309)×0.000181073075282812×R²
    0.000383490000000375×0.000181073075282812×6371000²
    0.000383490000000375×0.000181073075282812×40589641000000     		ar = 2002739.10230009m²