Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13483 / 2899
↖ ↑ ↗
← N 81.382713°
W 31.871338°		 ← 183.03 m → N 81.382713°
W 31.860352°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 81.381067°
W 31.871338°		 ← 183.07 m →
33 505 m²		 N 81.381067°
W 31.860352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411483764648438 y=0.0884857177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411483764648438 × 215)
    floor (0.411483764648438 × 32768)
    floor (13483.5)     		tx = 13483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884857177734375 × 215)
    floor (0.0884857177734375 × 32768)
    floor (2899.5)     		ty = 2899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13483 / 2899 ti = "15/13483/2899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13483/2899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13483 ÷ 215
    13483 ÷ 32768     		x = 0.411468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2899 ÷ 215
    2899 ÷ 32768     		y = 0.088470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.17706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55625978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088470458984375 × 2 - 1) × π
    0.82305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58571636550583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55625978} λ = -0.55625978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58571636550583))-π/2
    2×atan(13.272793856803)-π/2
    2×1.49559631346475-π/2
    2.9911926269295-1.57079632675     		φ = 1.42039630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55625978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.871338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42039630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.382713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13483 KachelY 2899 -0.55625978 1.42039630 -31.871338 81.382713
    Oben rechts KachelX + 1 13484 KachelY 2899 -0.55606804 1.42039630 -31.860352 81.382713
    Unten links KachelX 13483 KachelY + 1 2900 -0.55625978 1.42036757 -31.871338 81.381067
    Unten rechts KachelX + 1 13484 KachelY + 1 2900 -0.55606804 1.42036757 -31.860352 81.381067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42039630-1.42036757) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dl = 183.038829999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42039630-1.42036757) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dr = 183.038829999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55625978--0.55606804) × cos(1.42039630) × R
    0.000191739999999996 × 0.149833655431591 × 6371000     		do = 183.033128544016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55625978--0.55606804) × cos(1.42036757) × R
    0.000191739999999996 × 0.149862061043088 × 6371000     		du = 183.067828144219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42039630)-sin(1.42036757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149833655431591-0.149862061043088)×R²
    abs(-0.55606804--0.55625978)×2.840561149689e-05×R²
    0.000191739999999996×2.840561149689e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.840561149689e-05×40589641000000     		ar = 33505.3453891591m²