Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13482 / 5802
↖ ↑ ↗
← N 46.407564°
E116.235351°		 ← 1 684.70 m → N 46.407564°
E116.257324°		 →
↑
1 684.94 m
↓
↑
1 684.94 m
↓
N 46.392411°
E116.235351°		 ← 1 685.17 m →
2 839 008 m²		 N 46.392411°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822906494140625 y=0.354156494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822906494140625 × 214)
    floor (0.822906494140625 × 16384)
    floor (13482.5)     		tx = 13482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354156494140625 × 214)
    floor (0.354156494140625 × 16384)
    floor (5802.5)     		ty = 5802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13482 / 5802 ti = "14/13482/5802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13482/5802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13482 ÷ 214
    13482 ÷ 16384     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5802 ÷ 214
    5802 ÷ 16384     		y = 0.3541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3541259765625 × 2 - 1) × π
    0.291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.916553520735474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.916553520735474))-π/2
    2×atan(2.50065705848334)-π/2
    2×1.19038055790933-π/2
    2.38076111581866-1.57079632675     		φ = 0.80996479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80996479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.407564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13482 KachelY 5802 2.02868959 0.80996479 116.235351 46.407564
    Oben rechts KachelX + 1 13483 KachelY 5802 2.02907309 0.80996479 116.257324 46.407564
    Unten links KachelX 13482 KachelY + 1 5803 2.02868959 0.80970032 116.235351 46.392411
    Unten rechts KachelX + 1 13483 KachelY + 1 5803 2.02907309 0.80970032 116.257324 46.392411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80996479-0.80970032) × R
    0.000264469999999961 × 6371000     		dl = 1684.93836999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80996479-0.80970032) × R
    0.000264469999999961 × 6371000     		dr = 1684.93836999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.80996479) × R
    0.00038349999999987 × 0.689523934675751 × 6371000     		do = 1684.6990048281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.80970032) × R
    0.00038349999999987 × 0.689715456367641 × 6371000     		du = 1685.16694566017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80996479)-sin(0.80970032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689523934675751-0.689715456367641)×R²
    abs(2.02907309-2.02868959)×0.000191521691890073×R²
    0.00038349999999987×0.000191521691890073×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191521691890073×40589641000000     		ar = 2839008.23741486m²