Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13482 / 5270
↖ ↑ ↗
← N 53.878440°
E116.235351°		 ← 1 440.31 m → N 53.878440°
E116.257324°		 →
↑
1 440.48 m
↓
↑
1 440.48 m
↓
N 53.865486°
E116.235351°		 ← 1 440.76 m →
2 075 069 m²		 N 53.865486°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822906494140625 y=0.321685791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822906494140625 × 214)
    floor (0.822906494140625 × 16384)
    floor (13482.5)     		tx = 13482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321685791015625 × 214)
    floor (0.321685791015625 × 16384)
    floor (5270.5)     		ty = 5270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13482 / 5270 ti = "14/13482/5270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13482/5270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13482 ÷ 214
    13482 ÷ 16384     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5270 ÷ 214
    5270 ÷ 16384     		y = 0.3216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3216552734375 × 2 - 1) × π
    0.356689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12057296551843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12057296551843))-π/2
    2×atan(3.06661076224631)-π/2
    2×1.25557625382682-π/2
    2.51115250765365-1.57079632675     		φ = 0.94035618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94035618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.878440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13482 KachelY 5270 2.02868959 0.94035618 116.235351 53.878440
    Oben rechts KachelX + 1 13483 KachelY 5270 2.02907309 0.94035618 116.257324 53.878440
    Unten links KachelX 13482 KachelY + 1 5271 2.02868959 0.94013008 116.235351 53.865486
    Unten rechts KachelX + 1 13483 KachelY + 1 5271 2.02907309 0.94013008 116.257324 53.865486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94035618-0.94013008) × R
    0.000226100000000007 × 6371000     		dl = 1440.48310000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94035618-0.94013008) × R
    0.000226100000000007 × 6371000     		dr = 1440.48310000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.94035618) × R
    0.00038349999999987 × 0.589500351581487 × 6371000     		do = 1440.313534761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.94013008) × R
    0.00038349999999987 × 0.589682972883849 × 6371000     		du = 1440.7597294627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94035618)-sin(0.94013008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589500351581487-0.589682972883849)×R²
    abs(2.02907309-2.02868959)×0.000182621302361907×R²
    0.00038349999999987×0.000182621302361907×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182621302361907×40589641000000     		ar = 2075068.68232765m²