Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13482 / 5269
↖ ↑ ↗
← N 53.891391°
E116.235351°		 ← 1 439.87 m → N 53.891391°
E116.257324°		 →
↑
1 440.10 m
↓
↑
1 440.10 m
↓
N 53.878440°
E116.235351°		 ← 1 440.31 m →
2 073 875 m²		 N 53.878440°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822906494140625 y=0.321624755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822906494140625 × 214)
    floor (0.822906494140625 × 16384)
    floor (13482.5)     		tx = 13482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321624755859375 × 214)
    floor (0.321624755859375 × 16384)
    floor (5269.5)     		ty = 5269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13482 / 5269 ti = "14/13482/5269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13482/5269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13482 ÷ 214
    13482 ÷ 16384     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5269 ÷ 214
    5269 ÷ 16384     		y = 0.32159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32159423828125 × 2 - 1) × π
    0.3568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12095646071539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12095646071539))-π/2
    2×atan(3.06778701827443)-π/2
    2×1.25568927159649-π/2
    2.51137854319298-1.57079632675     		φ = 0.94058222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94058222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.891391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13482 KachelY 5269 2.02868959 0.94058222 116.235351 53.891391
    Oben rechts KachelX + 1 13483 KachelY 5269 2.02907309 0.94058222 116.257324 53.891391
    Unten links KachelX 13482 KachelY + 1 5270 2.02868959 0.94035618 116.235351 53.878440
    Unten rechts KachelX + 1 13483 KachelY + 1 5270 2.02907309 0.94035618 116.257324 53.878440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94058222-0.94035618) × R
    0.000226040000000038 × 6371000     		dl = 1440.10084000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94058222-0.94035618) × R
    0.000226040000000038 × 6371000     		dr = 1440.10084000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.94058222) × R
    0.00038349999999987 × 0.589317748617236 × 6371000     		do = 1439.86738486441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.94035618) × R
    0.00038349999999987 × 0.589500351581487 × 6371000     		du = 1440.313534761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94058222)-sin(0.94035618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589317748617236-0.589500351581487)×R²
    abs(2.02907309-2.02868959)×0.000182602964250989×R²
    0.00038349999999987×0.000182602964250989×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182602964250989×40589641000000     		ar = 2073875.48968262m²