Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13482 / 5262
↖ ↑ ↗
← N 53.981935°
E116.235351°		 ← 1 436.75 m → N 53.981935°
E116.257324°		 →
↑
1 436.98 m
↓
↑
1 436.98 m
↓
N 53.969012°
E116.235351°		 ← 1 437.19 m →
2 064 894 m²		 N 53.969012°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822906494140625 y=0.321197509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822906494140625 × 214)
    floor (0.822906494140625 × 16384)
    floor (13482.5)     		tx = 13482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321197509765625 × 214)
    floor (0.321197509765625 × 16384)
    floor (5262.5)     		ty = 5262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13482 / 5262 ti = "14/13482/5262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13482/5262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13482 ÷ 214
    13482 ÷ 16384     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5262 ÷ 214
    5262 ÷ 16384     		y = 0.3211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3211669921875 × 2 - 1) × π
    0.357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12364092709412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12364092709412))-π/2
    2×atan(3.07603345306832)-π/2
    2×1.2564794159763-π/2
    2.51295883195261-1.57079632675     		φ = 0.94216251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94216251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.981935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13482 KachelY 5262 2.02868959 0.94216251 116.235351 53.981935
    Oben rechts KachelX + 1 13483 KachelY 5262 2.02907309 0.94216251 116.257324 53.981935
    Unten links KachelX 13482 KachelY + 1 5263 2.02868959 0.94193696 116.235351 53.969012
    Unten rechts KachelX + 1 13483 KachelY + 1 5263 2.02907309 0.94193696 116.257324 53.969012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94216251-0.94193696) × R
    0.000225549999999908 × 6371000     		dl = 1436.97904999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94216251-0.94193696) × R
    0.000225549999999908 × 6371000     		dr = 1436.97904999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.94216251) × R
    0.00038349999999987 × 0.588040294868092 × 6371000     		do = 1436.74620958438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02907309) × cos(0.94193696) × R
    0.00038349999999987 × 0.588222711883889 × 6371000     		du = 1437.19190515711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94216251)-sin(0.94193696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588040294868092-0.588222711883889)×R²
    abs(2.02907309-2.02868959)×0.000182417015796688×R²
    0.00038349999999987×0.000182417015796688×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182417015796688×40589641000000     		ar = 2064894.43969255m²