Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13482 / 3336
↖ ↑ ↗
← N 80.632740°
W 31.882324°		 ← 198.84 m → N 80.632740°
W 31.871338°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
N 80.630952°
W 31.882324°		 ← 198.87 m →
39 540 m²		 N 80.630952°
W 31.871338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411453247070312 y=0.101821899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411453247070312 × 215)
    floor (0.411453247070312 × 32768)
    floor (13482.5)     		tx = 13482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101821899414062 × 215)
    floor (0.101821899414062 × 32768)
    floor (3336.5)     		ty = 3336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13482 / 3336 ti = "15/13482/3336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13482/3336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13482 ÷ 215
    13482 ÷ 32768     		x = 0.41143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3336 ÷ 215
    3336 ÷ 32768     		y = 0.101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55645153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101806640625 × 2 - 1) × π
    0.79638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50192266496997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55645153} λ = -0.55645153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50192266496997))-π/2
    2×atan(12.2059393466773)-π/2
    2×1.4890515649429-π/2
    2.9781031298858-1.57079632675     		φ = 1.40730680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55645153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.882324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40730680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.632740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13482 KachelY 3336 -0.55645153 1.40730680 -31.882324 80.632740
    Oben rechts KachelX + 1 13483 KachelY 3336 -0.55625978 1.40730680 -31.871338 80.632740
    Unten links KachelX 13482 KachelY + 1 3337 -0.55645153 1.40727559 -31.882324 80.630952
    Unten rechts KachelX + 1 13483 KachelY + 1 3337 -0.55625978 1.40727559 -31.871338 80.630952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40730680-1.40727559) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40730680-1.40727559) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55645153--0.55625978) × cos(1.40730680) × R
    0.000191750000000046 × 0.162762185689055 × 6371000     		do = 198.836674453585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55645153--0.55625978) × cos(1.40727559) × R
    0.000191750000000046 × 0.162792979434689 × 6371000     		du = 198.874293301906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40730680)-sin(1.40727559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162762185689055-0.162792979434689)×R²
    abs(-0.55625978--0.55645153)×3.07937456340834e-05×R²
    0.000191750000000046×3.07937456340834e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.07937456340834e-05×40589641000000     		ar = 39540.2076645334m²