Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13481 / 3099
↖ ↑ ↗
← N 81.047170°
W 31.893311°		 ← 190.11 m → N 81.047170°
W 31.882324°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
N 81.045460°
W 31.893311°		 ← 190.15 m →
36 146 m²		 N 81.045460°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411422729492188 y=0.0945892333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411422729492188 × 215)
    floor (0.411422729492188 × 32768)
    floor (13481.5)     		tx = 13481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0945892333984375 × 215)
    floor (0.0945892333984375 × 32768)
    floor (3099.5)     		ty = 3099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13481 / 3099 ti = "15/13481/3099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13481/3099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13481 ÷ 215
    13481 ÷ 32768     		x = 0.411407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3099 ÷ 215
    3099 ÷ 32768     		y = 0.094573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55664328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094573974609375 × 2 - 1) × π
    0.81085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54736684580978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55664328} λ = -0.55664328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54736684580978))-π/2
    2×atan(12.7734250637624)-π/2
    2×1.49266814304407-π/2
    2.98533628608814-1.57079632675     		φ = 1.41453996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55664328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41453996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.047170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13481 KachelY 3099 -0.55664328 1.41453996 -31.893311 81.047170
    Oben rechts KachelX + 1 13482 KachelY 3099 -0.55645153 1.41453996 -31.882324 81.047170
    Unten links KachelX 13481 KachelY + 1 3100 -0.55664328 1.41451012 -31.893311 81.045460
    Unten rechts KachelX + 1 13482 KachelY + 1 3100 -0.55645153 1.41451012 -31.882324 81.045460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41453996-1.41451012) × R
    2.98399999998367e-05 × 6371000     		dl = 190.110639998959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41453996-1.41451012) × R
    2.98399999998367e-05 × 6371000     		dr = 190.110639998959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55664328--0.55645153) × cos(1.41453996) × R
    0.000191749999999935 × 0.155621282003627 × 6371000     		do = 190.113066230885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55664328--0.55645153) × cos(1.41451012) × R
    0.000191749999999935 × 0.155650758387442 × 6371000     		du = 190.149075738301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41453996)-sin(1.41451012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155621282003627-0.155650758387442)×R²
    abs(-0.55645153--0.55664328)×2.94763838148138e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94763838148138e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94763838148138e-05×40589641000000     		ar = 36145.939591131m²