Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13481 / 2909
↖ ↑ ↗
← N 81.366237°
W 31.893311°		 ← 183.39 m → N 81.366237°
W 31.882324°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
N 81.364587°
W 31.893311°		 ← 183.42 m →
33 641 m²		 N 81.364587°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411422729492188 y=0.0887908935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411422729492188 × 215)
    floor (0.411422729492188 × 32768)
    floor (13481.5)     		tx = 13481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887908935546875 × 215)
    floor (0.0887908935546875 × 32768)
    floor (2909.5)     		ty = 2909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13481 / 2909 ti = "15/13481/2909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13481/2909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13481 ÷ 215
    13481 ÷ 32768     		x = 0.411407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2909 ÷ 215
    2909 ÷ 32768     		y = 0.088775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55664328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088775634765625 × 2 - 1) × π
    0.82244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58379888952103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55664328} λ = -0.55664328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58379888952103))-π/2
    2×atan(13.2473679778778)-π/2
    2×1.49545252599362-π/2
    2.99090505198724-1.57079632675     		φ = 1.42010873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55664328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42010873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.366237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13481 KachelY 2909 -0.55664328 1.42010873 -31.893311 81.366237
    Oben rechts KachelX + 1 13482 KachelY 2909 -0.55645153 1.42010873 -31.882324 81.366237
    Unten links KachelX 13481 KachelY + 1 2910 -0.55664328 1.42007994 -31.893311 81.364587
    Unten rechts KachelX + 1 13482 KachelY + 1 2910 -0.55645153 1.42007994 -31.882324 81.364587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42010873-1.42007994) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42010873-1.42007994) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55664328--0.55645153) × cos(1.42010873) × R
    0.000191749999999935 × 0.150117972917724 × 6371000     		do = 183.390007846667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55664328--0.55645153) × cos(1.42007994) × R
    0.000191749999999935 × 0.150146436609847 × 6371000     		du = 183.424780210164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42010873)-sin(1.42007994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150117972917724-0.150146436609847)×R²
    abs(-0.55645153--0.55664328)×2.84636921229209e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84636921229209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84636921229209e-05×40589641000000     		ar = 33640.784128853m²