Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13481 / 2901
↖ ↑ ↗
← N 81.379420°
W 31.893311°		 ← 183.11 m → N 81.379420°
W 31.882324°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 81.377773°
W 31.893311°		 ← 183.15 m →
33 543 m²		 N 81.377773°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411422729492188 y=0.0885467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411422729492188 × 215)
    floor (0.411422729492188 × 32768)
    floor (13481.5)     		tx = 13481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885467529296875 × 215)
    floor (0.0885467529296875 × 32768)
    floor (2901.5)     		ty = 2901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13481 / 2901 ti = "15/13481/2901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13481/2901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13481 ÷ 215
    13481 ÷ 32768     		x = 0.411407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2901 ÷ 215
    2901 ÷ 32768     		y = 0.088531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55664328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088531494140625 × 2 - 1) × π
    0.82293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58533287030887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55664328} λ = -0.55664328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58533287030887))-π/2
    2×atan(13.2677047799893)-π/2
    2×1.49556757777374-π/2
    2.99113515554747-1.57079632675     		φ = 1.42033883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55664328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42033883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.379420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13481 KachelY 2901 -0.55664328 1.42033883 -31.893311 81.379420
    Oben rechts KachelX + 1 13482 KachelY 2901 -0.55645153 1.42033883 -31.882324 81.379420
    Unten links KachelX 13481 KachelY + 1 2902 -0.55664328 1.42031008 -31.893311 81.377773
    Unten rechts KachelX + 1 13482 KachelY + 1 2902 -0.55645153 1.42031008 -31.882324 81.377773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42033883-1.42031008) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dl = 183.166250000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42033883-1.42031008) × R
    2.87500000000218e-05 × 6371000     		dr = 183.166250000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55664328--0.55645153) × cos(1.42033883) × R
    0.000191749999999935 × 0.149890476417913 × 6371000     		do = 183.11208919326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55664328--0.55645153) × cos(1.42031008) × R
    0.000191749999999935 × 0.149918901555914 × 6371000     		du = 183.146814457528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42033883)-sin(1.42031008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149890476417913-0.149918901555914)×R²
    abs(-0.55645153--0.55664328)×2.84251380002765e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84251380002765e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84251380002765e-05×40589641000000     		ar = 33543.1349579217m²