Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13480 / 5787
↖ ↑ ↗
← N 46.634350°
E116.191406°		 ← 1 677.68 m → N 46.634350°
E116.213379°		 →
↑
1 677.87 m
↓
↑
1 677.87 m
↓
N 46.619261°
E116.191406°		 ← 1 678.15 m →
2 815 318 m²		 N 46.619261°
E116.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822784423828125 y=0.353240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822784423828125 × 214)
    floor (0.822784423828125 × 16384)
    floor (13480.5)     		tx = 13480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353240966796875 × 214)
    floor (0.353240966796875 × 16384)
    floor (5787.5)     		ty = 5787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13480 / 5787 ti = "14/13480/5787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13480/5787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13480 ÷ 214
    13480 ÷ 16384     		x = 0.82275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5787 ÷ 214
    5787 ÷ 16384     		y = 0.35321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82275390625 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02792260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35321044921875 × 2 - 1) × π
    0.2935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.92230594868988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02792260} λ = 2.02792260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92230594868988))-π/2
    2×atan(2.51508336140402)-π/2
    2×1.19235964553638-π/2
    2.38471929107275-1.57079632675     		φ = 0.81392296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02792260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81392296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.634350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13480 KachelY 5787 2.02792260 0.81392296 116.191406 46.634350
    Oben rechts KachelX + 1 13481 KachelY 5787 2.02830610 0.81392296 116.213379 46.634350
    Unten links KachelX 13480 KachelY + 1 5788 2.02792260 0.81365960 116.191406 46.619261
    Unten rechts KachelX + 1 13481 KachelY + 1 5788 2.02830610 0.81365960 116.213379 46.619261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81392296-0.81365960) × R
    0.000263359999999935 × 6371000     		dl = 1677.86655999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81392296-0.81365960) × R
    0.000263359999999935 × 6371000     		dr = 1677.86655999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02792260-2.02830610) × cos(0.81392296) × R
    0.00038349999999987 × 0.686651785075089 × 6371000     		do = 1677.68154346002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02792260-2.02830610) × cos(0.81365960) × R
    0.00038349999999987 × 0.686843220416776 × 6371000     		du = 1678.1492733145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81392296)-sin(0.81365960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686651785075089-0.686843220416776)×R²
    abs(2.02830610-2.02792260)×0.000191435341687196×R²
    0.00038349999999987×0.000191435341687196×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191435341687196×40589641000000     		ar = 2815318.17051374m²