Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13480 / 5257
↖ ↑ ↗
← N 54.046489°
E116.191406°		 ← 1 434.52 m → N 54.046489°
E116.213379°		 →
↑
1 434.69 m
↓
↑
1 434.69 m
↓
N 54.033586°
E116.191406°		 ← 1 434.96 m →
2 058 403 m²		 N 54.033586°
E116.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822784423828125 y=0.320892333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822784423828125 × 214)
    floor (0.822784423828125 × 16384)
    floor (13480.5)     		tx = 13480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320892333984375 × 214)
    floor (0.320892333984375 × 16384)
    floor (5257.5)     		ty = 5257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13480 / 5257 ti = "14/13480/5257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13480/5257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13480 ÷ 214
    13480 ÷ 16384     		x = 0.82275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5257 ÷ 214
    5257 ÷ 16384     		y = 0.32086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82275390625 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02792260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32086181640625 × 2 - 1) × π
    0.3582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12555840307892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02792260} λ = 2.02792260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12555840307892))-π/2
    2×atan(3.08193733180697)-π/2
    2×1.25704275547367-π/2
    2.51408551094734-1.57079632675     		φ = 0.94328918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02792260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94328918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.046489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13480 KachelY 5257 2.02792260 0.94328918 116.191406 54.046489
    Oben rechts KachelX + 1 13481 KachelY 5257 2.02830610 0.94328918 116.213379 54.046489
    Unten links KachelX 13480 KachelY + 1 5258 2.02792260 0.94306399 116.191406 54.033586
    Unten rechts KachelX + 1 13481 KachelY + 1 5258 2.02830610 0.94306399 116.213379 54.033586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94328918-0.94306399) × R
    0.000225189999999986 × 6371000     		dl = 1434.68548999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94328918-0.94306399) × R
    0.000225189999999986 × 6371000     		dr = 1434.68548999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02792260-2.02830610) × cos(0.94328918) × R
    0.00038349999999987 × 0.58712863549938 × 6371000     		do = 1434.51877184949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02792260-2.02830610) × cos(0.94306399) × R
    0.00038349999999987 × 0.587310910485521 × 6371000     		du = 1434.96412040421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94328918)-sin(0.94306399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58712863549938-0.587310910485521)×R²
    abs(2.02830610-2.02792260)×0.000182274986140651×R²
    0.00038349999999987×0.000182274986140651×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182274986140651×40589641000000     		ar = 2058402.74335891m²