Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13480 / 4657
↖ ↑ ↗
← N 77.950121°
W 31.904297°		 ← 255.03 m → N 77.950121°
W 31.893311°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
N 77.947827°
W 31.904297°		 ← 255.08 m →
65 064 m²		 N 77.947827°
W 31.893311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411392211914062 y=0.142135620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411392211914062 × 215)
    floor (0.411392211914062 × 32768)
    floor (13480.5)     		tx = 13480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142135620117188 × 215)
    floor (0.142135620117188 × 32768)
    floor (4657.5)     		ty = 4657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13480 / 4657 ti = "15/13480/4657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13480/4657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13480 ÷ 215
    13480 ÷ 32768     		x = 0.411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4657 ÷ 215
    4657 ÷ 32768     		y = 0.142120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55683503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142120361328125 × 2 - 1) × π
    0.71575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24862408737759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55683503} λ = -0.55683503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24862408737759))-π/2
    2×atan(9.47469051753069)-π/2
    2×1.46564129110606-π/2
    2.93128258221211-1.57079632675     		φ = 1.36048626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55683503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36048626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.950121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13480 KachelY 4657 -0.55683503 1.36048626 -31.904297 77.950121
    Oben rechts KachelX + 1 13481 KachelY 4657 -0.55664328 1.36048626 -31.893311 77.950121
    Unten links KachelX 13480 KachelY + 1 4658 -0.55683503 1.36044622 -31.904297 77.947827
    Unten rechts KachelX + 1 13481 KachelY + 1 4658 -0.55664328 1.36044622 -31.893311 77.947827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36048626-1.36044622) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36048626-1.36044622) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55683503--0.55664328) × cos(1.36048626) × R
    0.000191750000000046 × 0.208763144731464 × 6371000     		do = 255.033251557448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55683503--0.55664328) × cos(1.36044622) × R
    0.000191750000000046 × 0.208802302332006 × 6371000     		du = 255.081088019207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36048626)-sin(1.36044622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208763144731464-0.208802302332006)×R²
    abs(-0.55664328--0.55683503)×3.9157600542794e-05×R²
    0.000191750000000046×3.9157600542794e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.9157600542794e-05×40589641000000     		ar = 65063.7679270054m²