Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13479 / 3352
↖ ↑ ↗
← N 80.604087°
W 31.915283°		 ← 199.43 m → N 80.604087°
W 31.904297°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 80.602293°
W 31.915283°		 ← 199.47 m →
39 785 m²		 N 80.602293°
W 31.904297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411361694335938 y=0.102310180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411361694335938 × 215)
    floor (0.411361694335938 × 32768)
    floor (13479.5)     		tx = 13479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102310180664062 × 215)
    floor (0.102310180664062 × 32768)
    floor (3352.5)     		ty = 3352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13479 / 3352 ti = "15/13479/3352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13479/3352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13479 ÷ 215
    13479 ÷ 32768     		x = 0.411346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3352 ÷ 215
    3352 ÷ 32768     		y = 0.102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.17730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55702677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102294921875 × 2 - 1) × π
    0.79541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49885470339429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55702677} λ = -0.55702677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49885470339429))-π/2
    2×atan(12.1685493785867)-π/2
    2×1.48880151262248-π/2
    2.97760302524495-1.57079632675     		φ = 1.40680670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55702677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.915283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40680670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.604087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13479 KachelY 3352 -0.55702677 1.40680670 -31.915283 80.604087
    Oben rechts KachelX + 1 13480 KachelY 3352 -0.55683503 1.40680670 -31.904297 80.604087
    Unten links KachelX 13479 KachelY + 1 3353 -0.55702677 1.40677539 -31.915283 80.602293
    Unten rechts KachelX + 1 13480 KachelY + 1 3353 -0.55683503 1.40677539 -31.904297 80.602293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40680670-1.40677539) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40680670-1.40677539) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55702677--0.55683503) × cos(1.40680670) × R
    0.000191739999999996 × 0.163255596645971 × 6371000     		do = 199.42904363082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55702677--0.55683503) × cos(1.40677539) × R
    0.000191739999999996 × 0.163286486504973 × 6371000     		du = 199.46677792701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40680670)-sin(1.40677539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163255596645971-0.163286486504973)×R²
    abs(-0.55683503--0.55702677)×3.08898590017093e-05×R²
    0.000191739999999996×3.08898590017093e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.08898590017093e-05×40589641000000     		ar = 39785.0734474156m²