Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13479 / 3351
↖ ↑ ↗
← N 80.605880°
W 31.915283°		 ← 199.39 m → N 80.605880°
W 31.904297°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 80.604087°
W 31.915283°		 ← 199.43 m →
39 765 m²		 N 80.604087°
W 31.904297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411361694335938 y=0.102279663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411361694335938 × 215)
    floor (0.411361694335938 × 32768)
    floor (13479.5)     		tx = 13479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102279663085938 × 215)
    floor (0.102279663085938 × 32768)
    floor (3351.5)     		ty = 3351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13479 / 3351 ti = "15/13479/3351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13479/3351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13479 ÷ 215
    13479 ÷ 32768     		x = 0.411346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3351 ÷ 215
    3351 ÷ 32768     		y = 0.102264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.17730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55702677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102264404296875 × 2 - 1) × π
    0.79547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49904645099277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55702677} λ = -0.55702677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49904645099277))-π/2
    2×atan(12.1708828924227)-π/2
    2×1.48881716307653-π/2
    2.97763432615307-1.57079632675     		φ = 1.40683800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55702677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.915283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40683800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.605880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13479 KachelY 3351 -0.55702677 1.40683800 -31.915283 80.605880
    Oben rechts KachelX + 1 13480 KachelY 3351 -0.55683503 1.40683800 -31.904297 80.605880
    Unten links KachelX 13479 KachelY + 1 3352 -0.55702677 1.40680670 -31.915283 80.604087
    Unten rechts KachelX + 1 13480 KachelY + 1 3352 -0.55683503 1.40680670 -31.904297 80.604087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40683800-1.40680670) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40683800-1.40680670) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55702677--0.55683503) × cos(1.40683800) × R
    0.000191739999999996 × 0.163224716492816 × 6371000     		do = 199.391321191054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55702677--0.55683503) × cos(1.40680670) × R
    0.000191739999999996 × 0.163255596645971 × 6371000     		du = 199.42904363082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40683800)-sin(1.40680670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163224716492816-0.163255596645971)×R²
    abs(-0.55683503--0.55702677)×3.08801531546665e-05×R²
    0.000191739999999996×3.08801531546665e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.08801531546665e-05×40589641000000     		ar = 39764.8431219214m²