Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13478 / 3349
↖ ↑ ↗
← N 80.609465°
W 31.926269°		 ← 199.33 m → N 80.609465°
W 31.915283°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
N 80.607673°
W 31.926269°		 ← 199.36 m →
39 739 m²		 N 80.607673°
W 31.915283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411331176757812 y=0.102218627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411331176757812 × 215)
    floor (0.411331176757812 × 32768)
    floor (13478.5)     		tx = 13478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102218627929688 × 215)
    floor (0.102218627929688 × 32768)
    floor (3349.5)     		ty = 3349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13478 / 3349 ti = "15/13478/3349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13478/3349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13478 ÷ 215
    13478 ÷ 32768     		x = 0.41131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3349 ÷ 215
    3349 ÷ 32768     		y = 0.102203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55721852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102203369140625 × 2 - 1) × π
    0.79559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49942994618973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55721852} λ = -0.55721852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49942994618973))-π/2
    2×atan(12.1755512626463)-π/2
    2×1.48884845510396-π/2
    2.97769691020792-1.57079632675     		φ = 1.40690058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55721852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.926269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40690058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.609465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13478 KachelY 3349 -0.55721852 1.40690058 -31.926269 80.609465
    Oben rechts KachelX + 1 13479 KachelY 3349 -0.55702677 1.40690058 -31.915283 80.609465
    Unten links KachelX 13478 KachelY + 1 3350 -0.55721852 1.40686929 -31.926269 80.607673
    Unten rechts KachelX + 1 13479 KachelY + 1 3350 -0.55702677 1.40686929 -31.915283 80.607673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40690058-1.40686929) × R
    3.12900000001282e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40690058-1.40686929) × R
    3.12900000001282e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55721852--0.55702677) × cos(1.40690058) × R
    0.000191750000000046 × 0.163162975438791 × 6371000     		do = 199.326294942861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55721852--0.55702677) × cos(1.40686929) × R
    0.000191750000000046 × 0.163193846045692 × 6371000     		du = 199.364007687923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40690058)-sin(1.40686929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163162975438791-0.163193846045692)×R²
    abs(-0.55702677--0.55721852)×3.08706069013231e-05×R²
    0.000191750000000046×3.08706069013231e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.08706069013231e-05×40589641000000     		ar = 39739.1748417416m²