Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13477 / 4678
↖ ↑ ↗
← N 77.901861°
W 31.937256°		 ← 256.04 m → N 77.901861°
W 31.926269°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
N 77.899558°
W 31.937256°		 ← 256.09 m →
65 565 m²		 N 77.899558°
W 31.926269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411300659179688 y=0.142776489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411300659179688 × 215)
    floor (0.411300659179688 × 32768)
    floor (13477.5)     		tx = 13477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142776489257812 × 215)
    floor (0.142776489257812 × 32768)
    floor (4678.5)     		ty = 4678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13477 / 4678 ti = "15/13477/4678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13477/4678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13477 ÷ 215
    13477 ÷ 32768     		x = 0.411285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4678 ÷ 215
    4678 ÷ 32768     		y = 0.14276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.17742919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55741027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14276123046875 × 2 - 1) × π
    0.7144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24459738780951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55741027} λ = -0.55741027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24459738780951))-π/2
    2×atan(9.43661549510087)-π/2
    2×1.46522014923523-π/2
    2.93044029847047-1.57079632675     		φ = 1.35964397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55741027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.937256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35964397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.901861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13477 KachelY 4678 -0.55741027 1.35964397 -31.937256 77.901861
    Oben rechts KachelX + 1 13478 KachelY 4678 -0.55721852 1.35964397 -31.926269 77.901861
    Unten links KachelX 13477 KachelY + 1 4679 -0.55741027 1.35960378 -31.937256 77.899558
    Unten rechts KachelX + 1 13478 KachelY + 1 4679 -0.55721852 1.35960378 -31.926269 77.899558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35964397-1.35960378) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35964397-1.35960378) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55741027--0.55721852) × cos(1.35964397) × R
    0.000191749999999935 × 0.209586801757199 × 6371000     		do = 256.039463308476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55741027--0.55721852) × cos(1.35960378) × R
    0.000191749999999935 × 0.20962609896984 × 6371000     		du = 256.087470325854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35964397)-sin(1.35960378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209586801757199-0.20962609896984)×R²
    abs(-0.55721852--0.55741027)×3.92972126407043e-05×R²
    0.000191749999999935×3.92972126407043e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.92972126407043e-05×40589641000000     		ar = 65565.1761581077m²